利用相似求满足给定条件的抽象矩阵的特征值后再求特征向量

$$\begin{gathered} A为3阶矩阵，\alpha 为3维向量， \\ A满足\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha 线性无关 \\ aA\alpha +b{A}^2\alpha +A^3\alpha =0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 因为\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha 线性无关 \\ 所以矩阵P=(\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha )为3阶可逆矩阵 \\ 再由条件知AP=PB \\ 即A(\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha )=(A\alpha ,A^2\alpha ,-aA\alpha -b{A}^2\alpha )=(\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha )\left(\begin{array}{llc}0& 0& 0\\ 1& 0& -a\\ 0& 1& -b\end{array}\right) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} A和B相似，所以两者的特征值{\lambda }_i相同 \\ 然后根相应的特征值求A的特征向量 \\ (相似矩阵由于是同一变换在不同基底下的表示，所以特征向量并不相同) \\ Ax={\lambda }_{i}x(特征向量是非零向量，零向量一定满足Ax={\lambda }_{i}x) \\ 一般用aA\alpha +b{A}^2\alpha +A^3\alpha =0分离出(A-{\lambda }_{i}E)剩下的就是特征向量了 \end{gathered}$$