一维随机变量函数的分布和一类不能用换元法解出的二维随机变量函数的“最值”分布

一维随机变量函数的分布和一类不能用换元法解出的二维随机变量函数的分布

(一维随机变量函数的分布)

例题：$$已知X在(1,2)上服从均匀分布，求Y=e^{2X}$$
$$\begin{gathered} F_Y(y)={\int }_{-\infty }^{y}f(y)dy \\ 对于某个确定的y,则x确定,反解出x,x=\frac{lny}{2} \\ {F}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\frac{lny}{2}}f(x)dx \end{gathered}$$

特殊的一类二维的连续型随机变量函数的分布

“相互独立条件”下的最大值，最小值分布

最大值：P(A且B小于1)
$$P(AB)=P(A)\ast P(B)=F_A(1)F_B(1)$$

最小值：P(A或B小于1)
$$\begin{gathered} =1-P(A且B大于1) \\ 1-[1-F_A(1)]\ast [1-F_B(1)] \end{gathered}$$

最大值：Z=max{ X,Y }
P(Z≤z)=P(max{X,Y}≤z)=P(X≤z,Y≤z)=FX(z)FY(z) P(Z\leq z)=P(max\{ X,Y \}\leq z)=P(X\leq z,Y \leq z)=F_X(z)F_Y(z)P(Z≤z)=P(max{X,Y}≤z)=P(X≤z,Y≤z)=FX​(z)FY​(z)

最小值：Z=min{ X,Y }
P(Z≤z)=P(min{X,Y}≤z)=1−P(X>z,Y>z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)] P(Z\leq z)=P(min\{ X,Y \}\leq z)=1-P(X> z,Y > z)= 1- [1-F_X(z)] [1-F_Y(z)]P(Z≤z)=P(min{X,Y}≤z)=1−P(X>z,Y>z)=1−[1−FX​(z)][1−FY​(z)]

$$然后f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)$$

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例:
X,Y独∼E(1),求P{max(X,Y)≥1}P{max(X,Y)≥1}=1−P{max(X,Y)≤1}=1−P{X≤1,Y≤1}=1−(1−e−1)(1−e−1)=e−1+e−1−e−2或P{X>1∪Y>1}=P{X>1}+P{Y>1}−P{X>1}P{Y>1}=e−1+e−1−e−2 X,Y独 \sim E(1),求P\{ max(X,Y) \geq 1 \} \\ P\{ max(X,Y) \geq 1 \} =1-P\{ max(X,Y) \leq 1 \} =1-P\{ X\leq 1 ,Y \leq 1 \} \\ =1- (1-e^{-1})(1-e^{-1})=e^{-1}+e^{-1}-e^{-2}\\ 或\\ P\{X >1 \cup Y>1 \}=P\{X >1 \}+P\{ Y>1 \}-P\{X >1 \}P\{ Y>1 \}\\ =e^{-1}+e^{-1}-e^{-2} X,Y独∼E(1),求P{max(X,Y)≥1}P{max(X,Y)≥1}=1−P{max(X,Y)≤1}=1−P{X≤1,Y≤1}=1−(1−e−1)(1−e−1)=e−1+e−1−e−2或P{X>1∪Y>1}=P{X>1}+P{Y>1}−P{X>1}P{Y>1}=e−1+e−1−e−2
$$E(1)分布函数1-e^{-x}(x>0)$$