一般的n阶范德蒙行列式计算的两个主要步骤

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本文介绍了一种行列式计算的方法：通过将一列（或一行）化为零再按列（或行）提取公因式来简化计算过程。具体示例展示了如何通过这种技巧将复杂的行列式简化，并给出了一般步骤。

一列（行）化为零→按列(行)提取公因式一列（行）化为零 \rightarrow 按列(行)提取公因式一列（行）化为零→按列(行)提取公因式

Dn=∣111x1x2x3x12x22x32∣ D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1& 1 &1 \\ x_1&{ x_2}&{ x_3}\\ { x_1}^{2}&{ x_2}^{2}&{ x_3}^{2}\\ \end{array}\right| Dn​=∣∣∣∣∣∣​1x1​x1​2​1x2​x2​2​1x3​x3​2​∣∣∣∣∣∣​
一列（行）化为零(贪心算法)一列（行）化为零(贪心算法)一列（行）化为零(贪心算法)
Dn=∣1110x2−x1x3−x10x22−x2x1x32−x3x1∣=1∗∣B∣对于B=∣x2−x1x3−x1x22−x2x1x32−x3x1∣按列提取公因式则B=（x2−x1）（x3−x1）∣11x2x3∣ D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1& 1 &1 \\ 0&{ x_2-x_1}&{ x_3-x_1}\\ { 0}&{ x_2}^{2}-x_2x_1&{ x_3}^{2}-x_3x_1\\ \end{array}\right| \\ =1*|B|\\ 对于B=\left|\begin{array}{cccc} { x_2-x_1}&{ x_3-x_1}\\ { x_2}^{2}-x_2x_1&{ x_3}^{2}-x_3x_1\\ \end{array}\right| \\ 按列提取公因式\\ 则B=（ x_2-x_1）（x_3-x_1）\left|\begin{array}{cccc} { 1}&{1}\\ { x_2}&{ x_3}\end{array}\right| Dn​=∣∣∣∣∣∣​100​1x2​−x1​x2​2−x2​x1​​1x3​−x1​x3​2−x3​x1​​∣∣∣∣∣∣​=1∗∣B∣对于B=∣∣∣∣​x2​−x1​x2​2−x2​x1​​x3​−x1​x3​2−x3​x1​​∣∣∣∣​按列提取公因式则B=（x2​−x1​）（x3​−x1​）∣∣∣∣​1x2​​1x3​​∣∣∣∣​

n阶Vander Monde（范德蒙德）行列式的计算
只想躺平不想动
07-03 3410
通过列之间的线性抵消和行公因数的提取得到关于行列式的递推式，利用递推式解出一般的n阶Vander Monde行列式的值。
范德蒙行列式
weixin_39699362的博客
02-28 3870
范德蒙行列式是以一组数为变量的行列式，其特殊之处在于每一行的元素是前一行的元素依次乘以一个固定的数。此外，范德蒙行列式在理论和应用数学的其他领域中也有广泛的应用，包括系统理论、数值分析、编码理论以及其他需要多项式拟合和插值的领域。范德蒙行列式的一个重要应用是在拉格朗日插值法中，它可以用来确定插值多项式的系数。，范德蒙行列式可以帮助我们确认存在这样一个多项式，并且该多项式是唯一的，只要所有的。，那么行列式的值将为零，因为会有两行完全相同，使得行列式退化。这个公式表明范德蒙行列式的值是所有变量对。
范德蒙行列式计算以应用
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第 1 列的全部的 1，其实可视为，各个数的 0 次幂； 最后计算乘积时，是右侧的减去左侧，下侧的减去上侧的； 1. 镶边法计算准范德蒙行列式试计算如下行列式：
范德蒙（Vander Monde）行列式的计算与应用
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范德蒙（Vander Monde）行列式的定义为： 1   x1   x1^2   ...   x1^(n-2)   x1^(n-1) 1   x2   x2^2   ...   x2^(n-2)   x2^(n-1) ...   ...     ...       ...   ....              ... 1   xn-1 xn-1^2 ... xn-1^(n-2) xn-1^(...
线代笔记期末复习
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方阵行列式常用规律借助A*的例题。
线性代数行列式计算2
aa644128600的博客
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【揭秘MATLAB行列式求解10大秘诀】：新手秒变行列式计算大师
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1.6矩阵运算 矩阵加法 矩阵元素对应相加，显然只有同型矩阵才能相加 矩阵减法 矩阵元素对应相减，显然只有同型矩阵才能相减 加法减法满足的运算率 矩阵数乘 矩阵所有元素均有公因子，所有公因子朝外提一次 行列式提公因子：一行提一次 所有元素均有外提n次 矩阵乘法 与行列式乘法规则一致，行的每一个元素乘以列每一个元素，先相乘再相加 注:矩阵相乘前提 第一个矩阵的列数 == 第二个矩阵的行数 结果矩阵形状：结果矩阵的行数 == 第一行的行数 ， 结果矩阵的列数 = 第二个列数 非常牛b的宋氏七字口诀 中间
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重要公式 1.重零公式 这里“-1”的次数是：n*(n-1)/2 2.拉普拉斯 3.范德蒙 例题 1.利用行列式性质计算 思路：通过初等变换使行列式中先出现1，然后用1使行列式中出现0，再用展开公式。 答案 2.利用拉普拉斯公式 答案 进阶 答案 3.利用范德蒙公式 答案 4. 不要去解三次方程 ...
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注：1）利用范德蒙德行列式和余子式的关系得到所要求得行列式为范德蒙德行列式的一个余子 式，再利用范德蒙德行列式的计算公式，通过合并同类项，得到系数即为余子式的相反 数，也为所要求的行列式。，这样使得行列式第一列都变为1，所以第1列也可以看作1^0 , 2^0 , 3^0, 4^0......n^0,与上面4阶范德蒙德行列式的转置相对比，形式一致，后剩下的行列式就是一个n-1阶的范德蒙德行列式，利用范德蒙德行列式。
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基础定义 n阶行列式的定义 行列式性质 性质推论 行列式展开定理 拉普拉斯定理 公式与法则 上（下）三角行列式 范德蒙德行列式 克拉默法则
逆序数和行列式
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<think>我们正在讨论逆序数和行列式的相关知识。根据用户要求，需要涵盖概念、性质、计算方法和应用。同时，根据引用内容，我们已经有了一些关于逆序数的定义和与行列式关系的提示。 首先，回顾引用内容： 引用[1]提到逆序数的定义，以及逆序数为0和最大的情况，并指出逆序数与行列式有关系。 引用[2]给出了一个计算逆序数的例子（排列(3,1,4,2)的逆序数为3），并提到奇排列和偶排列（根据逆序数的奇偶性）。 引用[3]则说明行列式的一种计算方法（递推法），但并未直接关联逆序数。 因此，我们需要系统地整合这些知识点，并补充完整。 ### 概念部分 1. **逆序数**：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。排列的逆序数用τ或N表示。 - 例如：排列(3,1,4,2)中，逆序对：(3,1), (3,2), (4,2)，所以逆序数为3。 - 逆序数为0的排列是完全有序排列（标准排列）；逆序数最大的排列是完全逆序排列。 2. **排列的奇偶性**：逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列。 3. **行列式**：n阶行列式是由n行n列元素构成的代数和，其定义式为： $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} $$ 其中，求和取遍所有n个元素的排列σ，sgn(σ)是排列σ的符号（当σ是偶排列时为1，奇排列时为-1），即$\text{sgn}(\sigma)=(-1)^{\tau(\sigma)}$。 ### 性质 1. **逆序数的性质**： - 对换排列中的两个元素，会改变排列的奇偶性（从而改变逆序数的奇偶性）。 - 任一排列经过奇数次对换变成标准排列，则它是奇排列；经过偶数次对换变成标准排列，则它是偶排列。 2. **行列式的性质**： - 行列式与它的转置行列式相等（$D=D^T$）。 - 互换行列式的两行（列），行列式变号。 - 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。 - 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。 - 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。 - 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。 - 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可以拆成两个行列式的和。 - 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。 ### 计算方法 1. **逆序数的计算**： - 直接计数：对于排列中的每个元素，计算它后面比它小的元素个数，然后求和。 - 例如：计算排列(5,3,2,4,1)的逆序数： - 元素5：后面有4个比它小的数（3,2,4,1）→4个逆序 - 元素3：后面有2个比它小的数（2,1）→2个逆序 - 元素2：后面有1个比它小的数（1）→1个逆序 - 元素4：后面有1个比它小的数（1）→1个逆序 - 元素1：后面没有比它小的数→0 - 逆序数=4+2+1+1=8 2. **行列式的计算**： - 定义法：根据行列式定义，但一般适用于低阶（如2阶、3阶）。 - 三角化法：利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式（或下三角行列式），则行列式等于主对角线上元素的乘积。 - 递推法：如引用[3]所述，当行列式具有重复结构时，可以通过按行（列）展开建立递推关系。 - 拉普拉斯展开：按一行（列）展开，转化为低阶行列式的计算。 - 特殊行列式：如范德蒙行列式、对角行列式、分块矩阵行列式等。 ### 应用 1. **逆序数的应用**： - 判断排列的奇偶性，用于行列式定义中的符号确定。 - 在物理学中，对于费米子的波函数，交换两个粒子需要乘以-1的奇次幂，这与排列的奇偶性有关。 2. **行列式的应用**： - 求解线性方程组（克莱默法则）。 - 判断矩阵是否可逆（行列式不等于零）。 - 求特征值（特征多项式）。 - 在几何中，行列式可以表示向量组的体积（二维是面积，三维是体积）。 - 在多重积分中，行列式出现在雅可比行列式中，用于变量替换。 ### 逆序数与行列式的关系 行列式的定义中，每一项是取自不同行不同列元素的乘积，其符号由列指标的排列的逆序数决定（或者行指标也可以，因为行列式转置不变）。具体地： $$ \det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\tau(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} $$ 其中σ是列指标的一个排列，τ(σ)是这个排列的逆序数。 因此，逆序数在行列式的定义中起到了关键作用。 ### 示例 计算一个2阶行列式： $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $$ 这里，第一项的列指标排列是(1,2)，逆序数为0（偶排列），符号为正；第二项的列指标排列是(2,1)，逆序数为1（奇排列），符号为负。 ### 总结 逆序数是排列的一个基本属性，而行列式则是线性代数中一个重要的概念，两者通过排列的奇偶性紧密联系。掌握逆序数的计算有助于理解行列式的定义，而行列式的性质和应用则更为广泛。 §§相关问题§§ 1. 如何计算一个排列的逆序数？请举例说明。 2. 行列式有哪些基本性质？这些性质如何帮助计算行列式？ 3. 逆序数在行列式的定义中具体起到什么作用？ 4. 行列式在解决线性方程组问题中有什么应用？ 5. 除了行列式，逆序数还有哪些应用场景？ </think>### 逆序数与行列式详解 #### 一、概念 1. **逆序数** 在排列中，若一对数的前后位置与大小顺序相反（前数 > 后数），则称为一个**逆序**。排列中所有逆序的总数称为**逆序数**，记为 $ \tau $ 或 $ N $。 - **示例**：排列 $(3,1,4,2)$ 的逆序对有 $(3,1)$、$(3,2)$、$(4,2)$，逆序数 $ \tau = 3 $[^2]。 - **极端情况**： - 完全有序（如 $(1,2,3)$）：$ \tau = 0 $； - 完全逆序（如 $(3,2,1)$）：$ \tau $ 最大（$ \tau = 3 $）[^1]。 2. **行列式** n阶行列式是n×n矩阵的标量值，定义为： $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} $$ 其中： - $ \sigma $ 是 $ 1 $ 到 $ n $ 的排列； - $ \text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\tau(\sigma)} $（由逆序数的奇偶性决定符号）[^1][^3]。 --- #### 二、性质 1. **逆序数的性质** - **奇偶性**：逆序数为奇数称**奇排列**，为偶数称**偶排列**。 - **对换效应**：交换排列中任意两元素，奇排列变偶排列（或反之），逆序数奇偶性改变[^2]。 2. **行列式的性质** - **线性性**：某行（列）元素可拆分为两数之和时，行列式可拆分为两个行列式之和。 - **行变换**： - 交换两行（列）：行列式变号； - 某行（列）乘以标量 $ k $：行列式变为 $ k $ 倍； - 某行（列）的倍数加到另一行（列）：行列式值不变。 - **特殊矩阵**： - 两行（列）相同或成比例：行列式为 $ 0 $； - 上（下）三角矩阵：行列式 = 主对角线元素乘积[^3]。 --- #### 三、计算方法 1. **逆序数的计算** **步骤**： - 对排列中每个元素 $ a_i $，统计其后方比 $ a_i $ 小的元素数量； - 所有统计值之和即为逆序数 $ \tau $。 **示例**：排列 $(5,3,2,4,1)$ - $ 5 $ 后方有 $ \{3,2,4,1\} $（4个比它小）→ $ +4 $； - $ 3 $ 后方有 $ \{2,1\} $（2个）→ $ +2 $； - $ 2 $ 后方有 $ \{1\} $（1个）→ $ +1 $； - $ 4 $ 后方有 $ \{1\} $（1个）→ $ +1 $； - **逆序数** $ \tau = 4+2+1+1=8 $。 2. **行列式的计算** - **定义法**（低阶适用）： $$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$ - **三角化法**：通过行变换化为上三角矩阵，主对角线乘积即为行列式值。 - **递推法**（对重复结构）： 若行列式满足递推关系（如 $ D_n = pD_{n-1} + qD_{n-2} $），可逐步求解[^3]。 - **拉普拉斯展开**：按某行（列）展开为代数余子式的线性组合。 --- #### 四、应用 1. **逆序数的应用** - **行列式符号**：决定 $ \text{sgn}(\sigma) $ 的正负（$ (-1)^\tau $）[^1][^3]； - **奇偶分类**：在群论（置换群）和拓扑学中用于分类对称操作。 2. **行列式的应用** - **矩阵可逆性**：$ \det(A) \neq 0 \iff A $ 可逆； - **线性方程组**：克莱默法则求解方程组（$ x_i = \det(A_i)/\det(A) $）； - **几何意义**： - 二维：平行四边形面积； - 三维：平行六面体体积； - **特征值**：特征多项式 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 的根为特征值。 --- #### 五、核心关系 **逆序数决定行列式符号**： 行列式定义中，每一项 $ a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} $ 的符号由排列 $ \sigma $ 的逆序数奇偶性决定： $$ \text{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 & \tau(\sigma) \text{ 为偶数} \\ -1 & \tau(\sigma) \text{ 为奇数} \end{cases} $$ 这解释了为何交换行列式的两行（列）会改变符号——因为逆序数奇偶性变化[^1][^3]。
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