指数复合函数的求导与欧拉方程

指数复合函数的求导与欧拉方程：

$$[f(e^t){]}^{\prime }=f^{\prime }(e^t)\ast e^t$$

$$x^n\ast y^{(n)}+P_1\ast x^{n-1}\ast y^{(n-1)}+\dots \dots +P_{n-1}\ast x^{n-1}\ast y^{\prime }+P_n{y}^{=}f(x)$$

$$\sum _{k=0}^n{p}_k{x}^k{y}^{(k)}=f(x)$$

$$令x=e^t,则有：\{\begin{array}{l}x\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}y=Dy\\ x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\end{array}$$

$$一般的：x^k{y}^{(k)}=D(D-1)\dots \dots (D-K+1)y$$

对于一般的二阶方程，将以上式子带入即可求解。

$$\boxed{将y对x的欧拉方程}\to \boxed{变为y对t的常系数微分方程}$$