特殊函数求导（底数和指数都含x）_底数和指数都有x怎么求导-优快云博客

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博客介绍了一类底数和指数都含x的函数求导方法，这类函数不能用函数相乘或复合函数求导法。可巧用ln函数解决指数含x的问题，并通过两个具体例子，详细展示了如何运用该方法进行求导计算。

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有一类函数，底数和指数都含 $x$ ，如 $x^{\sin x}$ ，对这类函数求导，既不能用函数相乘来求，也不能用复合函数求导来求。那应该怎么求呢？我们可以巧用 $ln⁡\ln$ 函数，解决指数含 $x$ 的问题。

例1

已知 $y=x^{\sin x}$ ，求 $y^{'}$

解：
$ln y=\ln x^{\sin x}=\sin x \ln x$
两边同时求导得：
$y′y=cos⁡xln⁡x+sin⁡x⋅1x\dfrac {y'}{y}=\cos x\ln x+\sin x\cdot\dfrac 1x$

$y′=y(cos⁡xln⁡x+sin⁡x⋅1x)=ssin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)y'=y(\cos x \ln x+\sin x \cdot \dfrac1x)=s^{\sin x}(\cos x \ln x+\dfrac {\sin x}{x})$

注：此处 $y$ 是一个函数，所以 $ln⁡y\ln y$ 是一个复合函数， $(ln⁡y)′=1y⋅y′=y′y(\ln y)'=\dfrac 1y\cdot y'=\dfrac{y'}{y}$

例2

已知 $y=x^{x^x}$ ，求 $y^{'}$

解：
设 $f(x)=x^x$
则 $ln f(x)=\ln x^x=x\ln x$
两边同时求导得：
$f′(x)f(x)=1+ln⁡x\dfrac{f'(x)}{f(x)}=1+\ln x$

$f'(x)=f(x)(1+\ln x)=x^x+x^x\ln x$
$∵y=xxx\because y=x^{x^x}$
$∴ln⁡y=ln⁡xxx=xxln⁡x=f(x)ln⁡x\therefore \ln y=\ln x^{x^x}=x^x\ln x=f(x)\ln x$
两边同时求导得：
$y′y=f′(x)ln⁡x+f(x)⋅1x=xxln⁡x+xx(ln⁡x)2+xxx\dfrac{y'}{y}=f'(x)\ln x+f(x)\cdot \dfrac 1x=x^x\ln x+x^x(\ln x)^2+\dfrac{x^x}{x}$

$y′=y(xxln⁡x+xx(ln⁡x)2+xxx)=xxxxxln⁡x+xxxxx(ln⁡x)2+xxxxxxy'=y(x^x\ln x+x^x(\ln x)^2+\dfrac{x^x}{x})=x^{x^x}x^x\ln x+x^{x^x}x^x(\ln x)^2+\dfrac{x^{x^x}x^x}{x}$