从正切公式到三角代换

最新推荐文章于 2025-07-07 15:05:25 发布

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分类专栏：数学注解

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本文探讨了三角函数的基本恒等式，如和角公式、差角公式和正切的和角公式，通过详细推导展示了如何将这些公式应用于求解复杂角度问题。关键概念包括sin(A+B)、cos(A+B)和tan(A+B)的组合形式，以及它们在简化计算和深入理解三角学中的重要作用。

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$sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBtan(A+B)=sin(A+B)cos(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanBtan(θ)=sin(θ)cos(θ)=tanθ2+tanθ21−tan2θ2=2tk1−t2k(2tk)2+(1−t2k)2=1解得k=1+t2则sinθ=2t1+t2,cosθ=1−t21+t2sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\\ cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB\\ tan(A+B)=\frac{sin(A+B)}{cos(A+B)}=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\\ tan(θ)=\frac{sin(θ)}{cos(θ)}=\frac{tan\frac{θ}{2}+tan\frac{θ}{2}}{1-tan^2\frac{θ}{2}}=\frac{\frac{2t}{k}}{\frac{1-t^2}{k}} \\ (\frac{2t}{k})^2+({\frac{1-t^2}{k}})^2=1\\ 解得k=1+t^2\\则sinθ=\frac{2t}{1+t^2},cosθ=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
在这里插入图片描述