本文通过构造函数f(x)=ex和f(x)=lnx，利用导数性质证明了当x>0时，ex>x+1以及a>b>0时，1/a<lna-lnb/(a-b)<1/b。这些不等式揭示了指数函数和对数函数的增长特性。
对于x>0,证明ex>x+1考虑函数f(x)=ex,ex−e0x−0=eξ>e0=1对于x>0,证明e^x>x+1 \\ 考虑函数f(x)=e^x,\\ \frac{e^x-e^0}{x-0}=e^ξ>e^0=1 对于x>0,证明ex>x+1考虑函数f(x)=ex,x−0ex−e0=eξ>e0=1
对于a>b>0,证明1a<lna−lnba−b<1b考虑函数f(x)=lnx,lna−lnba−b=f′(ξ)=1ξ∈(1a,1b)对于a>b>0,证明\frac{1}{a}<\frac{lna-lnb}{a-b}<\frac{1}{b} \\ 考虑函数f(x)=lnx,\frac{lna-lnb}{a-b}=f'(ξ)=\frac{1}{ξ}\in(\frac{1}{a},\frac{1}{b})\\ 对于a>b>0,证明a1<a−blna−lnb<b1考虑函数f(x)=lnx,a−blna−lnb=f′(ξ)=ξ1∈(a1,b1)
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