代数函数与超越函数，域的代数扩张，
基本的初等函数：有理函数，代数函数，指数函数，对数函数，三角函数
s
i
n
x
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
/
2
sinx=(e^{ix}-e^{-ix})/2
sinx=(eix−e−ix)/2
a
r
c
t
a
n
=
1
2
i
l
n
1
+
i
x
1
−
i
x
arctan=\frac{1}{2i}ln \frac{1+ix}{1-ix}
arctan=2i1ln1−ix1+ix
a
r
c
s
i
n
=
−
i
l
n
(
x
(
+
/
−
)
x
2
−
1
)
arcsin=-iln(x(+/-) \sqrt {x^2-1 })
arcsin=−iln(x(+/−)x2−1)
微分域K（对加减乘除，求导封闭）
初 等 函 数 a ∈ K ， y ′ = a ∣ ∣ y ∈ K 初 等 函 数 的 扩 域 中 则 a = ∑ i = 1 n c i u i ′ u i + v ′ c i 是 常 数 u i ∈ K , v ∈ K y = ∑ i = 1 n c i l n ( u i ) + v 初等函数a\in K，y'=a||y\in K初等函数的扩域中\\ 则a=\sum_{i=1}^{ n}c_i \frac{u_i'}{u_i}+v'\\ c_i 是常数 u_i\in K,v\in K\\ y=\sum_{i=1}^{ n}c_i ln(u_i)+v 初等函数a∈K，y′=a∣∣y∈K初等函数的扩域中则a=i=1∑nciuiui′+v′ci是常数ui∈K,v∈Ky=i=1∑nciln(ui)+v
当n=0时：
取y=v
设当n-1时成立，则：
从三类函数的角度来证明定理：
刘维尔定理2： f , g 是 有 理 多 项 式 ， f ( x ) ∗ e g ( x ) 存 在 初 等 原 函 数 i f f f = b ′ + b g ′ , b ∈ K = C ( z ) f,g是有理多项式，f(x)*e^{g(x)}存在初等原函数 \qquad iff \qquad f=b'+bg',b\in K =C(z) f,g是有理多项式，f(x)∗eg(x)存在初等原函数ifff=b′+bg′,b∈K=C(z)
初等函数（代数，指数，对数函数）的导数仍然是初等函数
2.所以要处理的只有自然的指数函数对数函数
2.1 多项式函数相除后求导仍然是有理函数
2.2 代数函数的求导：
域
张
对
应
的
代
数
函
数
∑
0
n
a
n
(
x
)
y
n
的
求
导
仍
然
是
代
数
函
数
域张对应的代数函数\sum_{0}^{ n}a_n(x)y^n 的求导仍然是代数函数
域张对应的代数函数0∑nan(x)yn的求导仍然是代数函数
2.3 y= lnx的求导：
y
′
=
1
x
∗
x
′
,
x
∈
K
→
y
′
=
x
′
x
∈
起
始
域
K
，
（
x
∈
K
）
y'=\frac{1}{x}*x' ,x\in K \rightarrow y'=\frac{x' }{x} \in 起始域K，（x\in K）
y′=x1∗x′,x∈K→y′=xx′∈起始域K，（x∈K）
2.4
y
=
e
x
,
y
′
=
y
∗
x
′
,
因
为
y
=
e
x
,
所
以
y
也
属
于
K
，
y
’
也
属
于
K
y=e^x ,y'=y*x' ,因为y=e^x,所以y也属于K，y’也属于K
y=ex,y′=y∗x′,因为y=ex,所以y也属于K，y’也属于K
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