复合函数的可导性

高等数学期末总复习 DAY 3.利用导数定义求极限 判断连续与可导的关系 关于导数定义的证明题 基本求导 基本高阶求导 抽象函数求导 DAY 3. 一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量,而是虚荣嫉妒不甘心 文章目录DAY 3.1. 利用导数定义求极限2.判断连续与可导的关系3.关于导数定义的证明题4.基本复合函数求导5. 基本高阶求导6. 抽象函数求导 1. 利用导数定义求极限 导数的两种定义 f′(x0)f'{(x_0)}f′(x0​) = lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​ 阅读详情

limh→01☸f(☣)存在 \left. \begin{array} { l } { l i m } \\ { h \rightarrow 0 } \end{array} \right. \frac{1}{☸} f(☣)存在limh→0​☸1​f(☣)存在
=limh→01☣f(☣)∗☣☸存在= \left. \begin{array} { l } { l i m } \\ { h \rightarrow 0 } \end{array} \right. \frac{1}{☣} f(☣)*\frac{☣}{☸}存在=limh→0​☣1​f(☣)∗☸☣​存在

看内部函数☣的0的两个方向趋向(并且在求导点的邻域不能有零值),

并且内部函数与分母h的函数☸同阶(右侧相除的极限不能为零,为零的话就可能不可导了,无穷时也不行,注意是充要条件)

例题:
f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的重要条件为:
a)limh→01h2f(1−cosh)存在 \left. \begin{array} { l } { l i m } \\ { h \rightarrow 0 } \end{array} \right. \frac{1}{h^2} f(1-cosh)存在limh→0​h21​f(1−cosh)存在
b)limh→01hf(1−eh)存在 \left. \begin{array} { l } { l i m } \\ { h \rightarrow 0 } \end{array} \right. \frac{1}{h} f(1-e^h)存在limh→0​h1​f(1−eh)存在
c)limh→01h2f(h−sin(h))存在 \left. \begin{array} { l } { l i m } \\ { h \rightarrow 0 } \end{array} \right. \frac{1}{h^2} f(h-sin(h))存在limh→0​h21​f(h−sin(h))存在
d)limh→01h(f(2h)−f(h))存在 \left. \begin{array} { l } { l i m } \\ { h \rightarrow 0 } \end{array} \right. \frac{1}{h} (f(2h)-f(h))存在limh→0​h1​(f(2h)−f(h))存在

看内部函数的0的两个方向趋向(并且在求导点的邻域不能有零值),
并且内部函数与分母h的函数同阶(右侧不能为零,为零的话就可能不可导了,无穷时也不行,注意是充要条件)

D项可构造在零点分段的函数,从而导出可导与零点无关。
A 1-COSh只能趋于零正

答案:B

导数与微分 — 高等数学 文章目录考点一:导数的定义函数在一点处的导数单侧导数充要条件笔记考点二:可导与连续的关系知识点笔记考点三:导数的几何意义知识点切线方程、法线方程笔记考点四:导数的基本公式及四则运算法则基本初等函数的导数公式求导法则笔记考点五:求复合函数的导数定理(★解题难)考点六:求隐函数的导数定义方法笔记考点七:求幂指函数的导数幂指函数求导方法笔记考点八:求由参数方程所确定的函数的导数参数方程求导方法笔记考点九:高阶导数定义求n阶导的一般方法常见函数的高阶导数笔记考点十:函数的微分知识点笔记 考点一:导数的定义 函数在一 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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