§2.1 导数的概念
一、从两个例子来谈导数的概念
变速直线运动物体的速度,是物理上隶属于运动学范畴的问题;平面曲线在一点的切线之斜率,则是一个几何问题。尽管这两个问题有很大的区别,但它们却与一个重要的数学概念 —— 导数有十分密切的关系。
设动点于时刻在直线上所处的位置为
,于是
,称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的瞬时速度呢?
考虑从到
这一时间间隔,质点从位置
移动到
,其质点运动的平均速度为:
当时间间隔较短时,此比值可近似地看作质点在时刻的速度。要精确地确定质点在时刻
的速度,只需令
,对上述表达式取极限,如果这个极限存在,记它为
即: (1)
此时,极限值就是质点在时刻
的(瞬时)速度。
用matlab摸拟曲线 在点
处的割线转动,最终生成曲线在该点的切线,程序为gs201.m。
设曲线是函数
的图形,现讨论
上一点
处的切线问题。另取
上一点
,于是割线
的斜率为
当点沿
趋于
时,
,如果上式极限存在,设为
,即:
(2)
就是割线斜率的极限,也就是切线的斜率。从图上可看出,
,且
是切线的倾角。
二、导数定义
变速直线运动的速度和切线的斜率都归结为求如下极限
这里和
分别是自变量的增量和函数的增量,即:
,
而等价于
,上述极限可改写成新形式:
由于这类极限在工程技术与自然科学领域里经常遇到,因此,我们有必要对这类特殊形式的极限问题给出一个专门的定义。
1、导数定义
设函数在点
的某个邻域内有定义,当自变量
在
处取得增量
(点
仍在该邻域内)时,函数取得增量
如果与
之比当
时的极限存在,则称函数
在
处可导,并称这个极限值为函数
在
处的导数。记作:
(3)
也可记作:
显然,表达式(3)可改写成如下等价的形式:
或
下面我们约定几种说法:
(1)、函数在点
处可导时,也称
在点
具有导数或导数存在。
(2)、如果极限(3)不存在,称函数在点
处不可导。
(3)、若时,
,则函数
在
处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态,我们宁愿称函数在
处的导数为无穷大。并赋予它记号:
。
2、导函数
如果函数在开区间
内的每一点都可导,称函数
)在开区间
上可导。这时,对任意
,都对应着
的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,我们此函数为导函数。记作:
导函数的定义只需将(3)式中的换成
即可:
注意:
虽然在开区间
上任意取值,一经取定,对于极限过程
来说,它应被视为常量。
很明显,函数在点
处的导数
,就是它的导函数
在
处的函数值。即:
三、求导举例
【例1】利用导数定义,证明下列导数公式
证明:
特款:当时,
,该表达式的简明,获益于自然对数。
【例2】试证明函数 在
处不可导。
由此例,我们可引入左、右导数的概念。
如果极限
存在, 则称此极限值为函数在处的左导数(右导数)。记作:
利用函数极限与其左、右极限的关系,很容易想到下述结论:
函数在点
处可导的充要条件是左、右导数
、
存在且相等。
现在, 我们可以给出函数在闭区间上可导的定义:
在开区间
内可导,
且
及
都存在。
四、导数的几何意义
由切线问题的讨论可知:
注记:
(1)、当时,
,
,
在点
处的切线方程为
。
切线平行于轴,即曲线在
点具有水平切线,其法线方程为
。
(2)、若,
,
,曲线在
的切线垂直于
轴,故切线方程为
,法线方程自然是
。
五、函数的可导性与连续性的关系
【命题】若在
处可导,则
在
处连续;
反之,却不一定成立。
证明:
故 (
,当
时)
从而
故函数在
处连续。
反过来,结论不真。例如:在
处连续,但不可导。
§2.2 函数的和、差、积、商求导法则
如果只利用导数的定义来求函数的导数,实在不易。求函数导数是否有简便可行的方法呢?有的!导数在数学形式上只是一种特殊的函数极限,因此,我们可由函数极限的四则运算法则,导出函数求导的四则运算法则。
一、函数求导的四则运算法则
在下面的讨论中,总假定:
函数,
在点
处具有导数
,
。
【法则一】
证明:记
【法则二】
证明: 记,由导数的定义有
【推论】设为任意常数,则
积的求导法则可方便地推广到任意有限个函数积的形式,例如
【法则三】设 ,且
,则
(3)、【一个常用推论】
(此处的负号容易出错 )
(4)、不可将商的求导法则记成:“商的求导,楼上一撇,楼下一撇”
二、求导举例
【例1】求下列函数的导数或导数值
解:(1)
解: (2)
解: (3)
【例2】证明下列基本导数公式:
证明:
(1)
(2)
(3)
(4)
请同学们进行课堂练习,我们用mathcad 出题并检查。
§2.3 反函数的导数,复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设是直接函数,
是它的反函数,假定
在
内单调、可导,而且
,则反函数
在间
内也是单调、可导的,而且
(1)
证明: ,给
以增量
由 在
上的单调性可知
于是
因直接函数在
上单调、可导,故它是连续的,且反函数
在
上也是连续的,当
时,必有
即:
【例1】试证明下列基本导数公式
证1、设为直接函数,
是它的反函数
函数 在
上单调、可导,且
因此, 在 上, 有
注意到, 当时,
,
因此,
证2 设,
则,
在
上单调、可导且
故
证3
类似地,我们可以证明下列导数公式:
二、复合函数的求导法则
如果在点
可导,而
在点
可导,则复合函数
在点
可导,且导数为
证明:因 ,由极限与无穷小的关系,有
用去除上式两边得:
由在
的可导性有:
,
即
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述:
若在开区间
可导,
在开区间
可导,且
时,对应的
,则复合函数
在
内可导,且
(2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则,特给出如下注记:
弄懂了锁链规则的实质之后,不难给出复合更多层函数的求导公式。
【例2】,求
引入中间变量, 设 ,
,于是
变量关系是 ,由锁链规则有:
(2)、用锁链规则求导的关键
引入中间变量,将复合函数分解成基本初等函数。还应注意:求导完成后,应将引入的中间变量代换成原自变量。
【例3】求的导数
。
解:设 ,则
,
,由锁链规则有:
【例4】 设 ,求
。
由锁链规则有
(基本初等函数求导)
( 消中间变量)
由上例,不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中,只是起过渡作用,熟练之后,可不必引入,仅需“心中有链”。
然后,对函数所有中间变量求导,直至求到自变量为止,最后诸导数相乘。
请看下面的演示过程:
【例5】证明幂函数的导数公式 ,(
为实数)。
证明:设
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