模运算的一些性质

引入

今天无聊刷水题的时候发现自己对于模运算的一些性质知之甚少,故写了这篇文章来总结一下一些模运算的定理和性质;

例题

水题;这道题如果用暴力+前缀和解法是这样的(会TLE):

    int n;
    cin >> n;
    vector<int> s(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> s[i], s[i] = s[i - 1] + s[i];
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j++)
            if ((s[j] - s[i - 1]) % 7 == 0)
                res = max(res, j - i + 1);
    cout << res;

但是其实这道题用到了一个性质:若a≡b(mod c) 则 (a−b)≡0(mod c),反过来同理;那怎么用这一个性质呢? 我们可以找第一个模等于k和最后一个模等于k的数,两个数的下标相减就是最长的区间啦 ;

完整代码如下(有注释):

// web:https://www.luogu.com.cn/problem/P3131
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<ll, ll> PLL;
const int N = 5e4 + 10;
const int INF = 1e9;
const ll INFL = 1e18;

int s[N], first[7], last[7];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    // 这个地方不直接mod会爆int!!-->具体证明看下文;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> s[i], s[i] = (s[i - 1] + s[i]) % 7;
    // 从大到小遍历一遍数组,这样就可以找到下标最小的mod 7为k的数了;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        first[s[i]] = i;
    // 这个地方因为[1, r]的前缀和 mod 7等于0了, 所以这里就是就是选择[1, r]上的所有数, 长度就是r;
    first[0] = 0;
    // 同上,这里只不过找到下表最大的mod 7为k的数;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        last[s[i]] = i;
    int res = -1;
    // 前缀和的定义:s[l, r] = s[r] - s[l - 1];
    for (int i = 0; i <= 6; i++)
        res = max(res, last[i] - first[i]);
    cout << res;
    return 0;
}

一些开箱即用的性质

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p = (a % p + b) % p = (a + b % p) % p
2. (减法就是加一个数的相反数,和加法基本相同,不做赘述)
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p = (a * b % p) % p = (a % p * b) % p1
4. 若a≡b (% p)则(a + c) ≡ (b + c) (%p)和(a * c) ≡ (b * c) (%p)
5. 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)

这些性质的证明基本上遵循以下方法:
令 a = p * k₁ + r₁, b = p * k₂ + r₂ ,并将a和b带入式子中,即可得出;
例如证明(a + b) % p = (a % p + b) % p,将式子带入,左边 = (p * (k₁ + k₂) + (r₁ + r₂)) mod p = (r₁ + r₂) mod p;右边 = (p * k₂ + (r₁ + r₂)) mod p = (r₁ + r₂) mod p;所以代码中的在求前缀和的同时求mod的操作是成立的;