最长上升子序列解法及其优化

例题

给定一个长度为 N 的数列 a[i]，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
数据范围
1≤N≤1000

朴素解法

这道题很经典吧awa,就是一道普通的dp,用一个一维的数组 dp[i] 代表以第 i 个数字结尾的最长上升子序列,然后再求出dp数组里面的最大值就是答案;代码如下;

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), dp(n + 1, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            if (a[j] < a[i])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            res = max(res, dp[i]);
        }
    cout << res;
    return 0;
}

优化(非常妙awa)

我们来看一组数据:

7
3 1 2 1 8 5 6

分析一下:对于数组中的 8 ,如果其可以接到 3 后面,那么其必定能接到 1 后面,并且以 3 结尾的最长上升子序列和以 1 结尾的最长上升子序列长度相同,都是1,这个时候我们成 1 比 3 更好;

有了以上的分析,我们可以这样处理:用一个数组 q 来存储最长上升子序列长度为 i 的最好的数字,我们就可以得到一张图:

那为什么这张图是单调上升(即q[i, j] > q[i - 1, j])的呢,别急,这里给出证明:若q[i] <= q[i - 1],则q[i, j - 1] < q[i - 1][j]( q[i, j - 1]代表的是排除掉最上面那个数,得到了一个长度为k - 1的上升子序列,里面所存的结尾 ),可以得到q[i, j - 1] < q[i - 1, j],而 q数组 存的是 最好的 那个数(即最长上升子序列长度为k,最小的结尾),故q[i - 1, j]不是最小的那一个,矛盾了;

那么有了这个单调性,可以想到什么呢?二分!对于一个新的数a[i],我们二分找到一个小于a[i]的最大的 结尾值 ,并且把a[i]接上去,假设最大的接位置对应的最长上升子序列长度为 k 那么 k + 1 的最好的值就变成a[i]了( 因为q[k] < q[i] < q[k + 1] );

请看代码:

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), q(n + 1, -1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    int len = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int l = 0, r = len, mid;
        while (l < r)
        {
            mid = l + r + 1 >> 1;
            if (q[mid] < a[i])
                l = mid;
            else
                r = mid - 1;
        }
        q[l + 1] = a[i];
        len = max(len, l + 1);
    }
    cout << len << endl;
    return 0;
}

其实到这里都不太像dp了o.o;