模运算及其性质

本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

原文：https://blog.youkuaiyun.com/cckit/article/details/41629263

基本理论

一、基本概念

　　1、给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ；

　　2、其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

　　3、对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

　　1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

　　2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

二、基本性质

　　（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

　　（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

　　（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

　　（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

三、运算规则

　　模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

　　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

　　(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

　　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

　　(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）

　　结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

　　                ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

　　交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）

　               　(a * b) % p = (b * a) % p （8）

　　分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

　　重要定理：

　　若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

　　若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

　　若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

　　                                               (a * c) ≡ (b * d) (%p) ，(a / c) ≡ (b / d) (%p)（12）

　　除法：若ac ≡ bc (mod m)，c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) ，其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。

                   特殊地 ,gcd(c,m)=1 则 a ≡ b (mod m)

　　幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

基本应用：

1.判别奇偶数　　2.判别素数3. 最大公约数　　4．模幂运算

另见：

https://blog.youkuaiyun.com/qq_36345036/article/details/77407069 

https://blog.sengxian.com/algorithms/mod-world