程序员面试金典 17.24

最新推荐文章于 2023-08-01 12:16:31 发布

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本文详细解析了MaxSubmatrix算法，介绍了如何在矩阵中寻找和最大的子矩阵。通过将子矩阵压缩为一行并应用最大子数组和算法，实现了在O(r^3*c)时间内找到最优解。文章还讨论了如何优化计算过程，避免重复计算，提高算法效率。

Max Submatrix：求矩阵中和最大的子矩阵。

根据提示，先回顾下如何求最大子数组的和(16.17)：只需要依次将数组中的元素进行累加，如果目前的累加和变大了，就进行更新，如果目前的累加和变成了负数，那么就将累加和重置为0，这样就在O(n)的时间内找到了最大子数租的和。

如果能将某一个子矩阵压缩成一行，那么就可以用上面的方法进行计算了。假设要压缩的矩阵起始行为startRow，终止行为endRow，当求出了每一列的和之后，该矩阵就压缩为了一行，然后应用上面的方法，可以在O(r ^ 3 * c)的时间内计算出结果：前两个r是枚举startRow和endRow，第3个r是对[startRow, endRow]之间的每一列求和，c为求解最大子数组和的复杂度。当然，4次方的复杂度超时了。

class Solution {
public:
    vector<int> getMaxMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        vector<int> ans;
        int max = INT_MIN;
        for(int startRow = 0; startRow < matrix.size(); startRow++)
        {
            for(int endRow = startRow; endRow < matrix.size(); endRow++)
            {
                vector<int> partialSum(matrix[0].size(), 0);
                for(int c = 0; c < matrix[0].size(); c++)
                {
                    for(int r = startRow; r <= endRow; r++)
                    {
                        partialSum[c] += matrix[r][c];
                    }
                }
                int sum = 0, startCol = 0;
                for(int endCol = 0; endCol < matrix[0].size(); endCol++)
                {
                    sum += partialSum[endCol];
                    if(max < sum){
                        max = sum;
                        ans = { startRow, startCol, endRow, endCol };
                    }
                    if(sum < 0){
                        sum = 0;
                        startCol = endCol + 1;
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

从代码中发现，每当endRow变大时，都需要重新计算partialSum，这里浪费了很多时间。在startRow不变的情况下，新的partialSum可以利用上一次计算的结果，将endRow这一行中的元素累加到partialSum上就得到了新的partialSum。

class Solution {
public:
    vector<int> getMaxMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        vector<int> ans;
        int max = INT_MIN;
        for(int startRow = 0; startRow < matrix.size(); startRow++)
        {
            vector<int> partialSum(matrix[0].size(), 0);
            for(int endRow = startRow; endRow < matrix.size(); endRow++)
            {
                int sum = 0, startCol = 0;
                for(int endCol = 0; endCol < matrix[0].size(); endCol++)
                {
                    partialSum[endCol] += matrix[endRow][endCol];
                    sum += partialSum[endCol];
                    if(max < sum){
                        max = sum;
                        ans = { startRow, startCol, endRow, endCol };
                    }
                    if(sum < 0){
                        sum = 0;
                        startCol = endCol + 1;
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};