2019多校第五场 HDU6624 fraction（辗转求分数中间值）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ratina/article/details/98624591

本文探讨了求解最小正整数b的问题，使存在a<b满足a≡bx(modp)，其中p,x已知且p为质数。通过将问题转化为a=bx-py的形式，并利用辗转相除法解决，提供了详细的算法实现与代码示例。

链接：HDU6624 fraction

题意：

求出最小的正整数 $b$ ，使得存在正整数 $a\lt b$ ，满足 $a\equiv bx\pmod p$

$p, x$ 已知，且 $p$ 为质数， $1\lt x\lt p\le10^{15}$

分析：

和解同余方程一样，把 $a\equiv bx\pmod p$ 转化为 $a = b x - p y$

由于 $0\lt a\lt b$ ，即 $0\lt bx-py\lt b$ ，可解得：
$\frac{p}{x}\lt \frac{b}{y}\lt \frac{p}{x-1}$

然后解最小的正整数 $b$ 即可，方法的话就是辗转相除法，可以看这里：传送门

（根据dls的讲解写的，可能存在纰漏，欢迎指正。）

以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void solve(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL c,LL d)
{   
    //d==0说明c/d是正无穷，区间内肯定有整数
    if(d==0||(c%d==0?(a/b+1<c/d):(a/b+1<=c/d)))
    {                //若a/b到c/d之间有整数
        x=a/b+1;
        y=1;
        return;
    }
    LL t=a/b;
    a-=t*b;
    c-=t*d;
    solve(d,c,y,x,b,a);
    x+=t*y;
}
LL qmul(LL a,LL b,LL c)
{
    LL res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=(res+a)%c;
        a=(a<<1)%c;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL p,x,b,y,a;
LL A,B,C,D;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld %lld",&p,&x);
        A=p/gcd(p,x),B=x/gcd(p,x);
        C=p/gcd(p,x-1),D=(x-1)/gcd(p,x-1);
        solve(A,B,b,y,C,D);
        a=qmul(b,x,p);
        printf("%lld/%lld\n",a,b);
    }
    return 0;
}