2019多校第五场 HDU6624 fraction（辗转求分数中间值）

链接：HDU6624 fraction

题意：

求出最小的正整数$b$，使得存在正整数$a<b$，满足$a\equiv bx(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

$p,x$已知，且$p$为质数，$1<x<p\le 10^{15}$

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分析：

和解同余方程一样，把$a\equiv bx(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$转化为$a=bx-py$

由于$0<a<b$，即$0<bx-py<b$，可解得：
$$\frac{p}{x}<\frac{b}{y}<\frac{p}{x-1}$$

然后解最小的正整数$b$即可，方法的话就是辗转相除法，可以看这里：传送门

（根据dls的讲解写的，可能存在纰漏，欢迎指正。）

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void solve(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL c,LL d)
{   
    //d==0说明c/d是正无穷，区间内肯定有整数
    if(d==0||(c%d==0?(a/b+1<c/d):(a/b+1<=c/d)))
    {                //若a/b到c/d之间有整数
        x=a/b+1;
        y=1;
        return;
    }
    LL t=a/b;
    a-=t*b;
    c-=t*d;
    solve(d,c,y,x,b,a);
    x+=t*y;
}
LL qmul(LL a,LL b,LL c)
{
    LL res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=(res+a)%c;
        a=(a<<1)%c;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL p,x,b,y,a;
LL A,B,C,D;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld %lld",&p,&x);
        A=p/gcd(p,x),B=x/gcd(p,x);
        C=p/gcd(p,x-1),D=(x-1)/gcd(p,x-1);
        solve(A,B,b,y,C,D);
        a=qmul(b,x,p);
        printf("%lld/%lld\n",a,b);
    }
    return 0;
}