HDU - 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻（数位DP求平方和）

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题意：

如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关
　　1、整数中某一位是7；
　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
　　3、这个整数是7的整数倍；

现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。

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分析：

设数位为：$d_{len-1}{d}_{len-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0$

• 常规的数位DP过程，可以处理出 $dp[i][\cdots ].cnt$：后$i+1$位符合条件的数的个数；

• 先考虑处理出 $dp[i][\cdots ].sum$：后$i+1$位符合条件的数的和；

则设当前位（第i+1位）填入的数为$k$，数位状态为：$ab\cdots k{d}_{i-1}{d}_{i-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0$

对于后$i+1$位，可拆分为：$k\ast 10^i+d_{i-1}{d}_{i-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0$

对其求和得：
$$k\ast 10^i\ast dp[i-1][\cdots ].cnt+dp[i-1][\cdots ].sum$$

则有：
$$dp[i][\cdots ].sum=\sum _{k=0}^{up}(上式)$$

• 最后处理 $dp[i][\cdots ].sqsum$：后$i+1$位符合条件的数的平方和；

同样地，设当前位（第i+1位）填入的数为$k$，数位状态为：$ab\cdots k{d}_{i-1}{d}_{i-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0$

对于后$i+1$位，可拆分为 $k\ast 10^i+d_{i-1}{d}_{i-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0$

平方后得：
$$k^2\ast 10^{2i}+2\ast k\ast 10^i\ast d_{i-1}{d}_{i-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0+(d_{i-1}{d}_{i-2}\cdots d_2{d}_1{d}_0{)}^2$$

对其求和得：
$$k^2\ast 10^{2i}\ast dp[i-1][\cdots ].cnt+2\ast k\ast 10^i\ast dp[i-1][\cdots ].sum+dp[i-1][\cdots ].sqsum$$

则有：
$$dp[i][\cdots ].sqsum=\sum _{k=0}^{up}(上式)$$

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;
LL qpow(LL a,LL b)
{
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=(res*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
struct Node
{
    LL cnt;
    LL sum;
    LL sqsum;
}dp[30][10][10];
int a[30];
Node DFS(int pos,int rem1,int rem2,bool limit)
{
    if(pos<0)
        return Node{(rem1&&rem2)?1:0,0,0};
    if(!limit&&dp[pos][rem1][rem2].cnt!=-1)
        return dp[pos][rem1][rem2];
    int up=limit?a[pos]:9;
    Node res={0,0,0};
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        if(i==7)
            continue;
        Node temp=DFS(pos-1,(rem1+i)%7,(rem2*10+i)%7,limit&&i==up);
        res.cnt+=temp.cnt;
        res.cnt%=MOD;
        res.sum+=i*qpow(10,pos)%MOD*temp.cnt%MOD+temp.sum;
        res.sum%=MOD;
        res.sqsum+=(i*qpow(10,pos)%MOD)*(i*qpow(10,pos)%MOD)%MOD*temp.cnt%MOD+2*i*qpow(10,pos)%MOD*temp.sum%MOD+temp.sqsum;
        res.sqsum%=MOD;
    }
    if(!limit)
        dp[pos][rem1][rem2]=res;
    return res;
}
LL solve(LL x)
{
    for(int i=0;i<30;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            for(int k=0;k<10;k++)
                dp[i][j][k]=Node{-1,0,0};
    int len=0;
    while(x)
    {
        a[len++]=x%10;
        x/=10;
    }
    return DFS(len-1,0,0,true).sqsum;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL L,R;
        scanf("%lld %lld",&L,&R);
        printf("%lld\n",(solve(R)-solve(L-1)+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}