HDU 2204 Eddy's 爱好(容斥原理、给定n求满足p=m^k <= n的p的个数)

题目链接：
HDU 2204 Eddy’s 爱好
题意；
给一个$n$，在$p\in [1, n]$范围满足$m^k=p(m \geq 1, k > 1$的数字$p$的个数。
数据范围：$1 \leq n \leq 10^{18}$
分析：
一开始我一直是从枚举$m$考虑，实在不知道怎么搞，耗时太多了。。。只能借助万能的网友。。。

我们可以枚举幂次$k$，考虑到$2^{60}>10^{18}$，最多只需要枚举到$60$幂次。
同时对于一个数$p$的幂次$k$是个合数，那么$k$一定可以表示成$k=r*k',其中k'是素数$的形式，那么：

$$p=m^k=m^{r*k'}=(m^r)^{k'}$$
所以我们只需要枚举素幂次 $k$即可。
同时如果$p^k \leq n$，那么对于任意的 $p' < p$，也一定满足 ${p'}^{k} \leq n$。所以对于每个 $k$我们令$p^k=n，即p=n^{\frac{1}{n}}$，求出最大的 $p$，同时也就是满足$p^k\leq n$的所有 $p$的个数。
但是这样子会有重复。例如：$k=2时，(2^2)^3$和 $k=3时,(2^3)^{2}$就重复计数了(都是 $2^6$)。这时候需要用容斥原理：加上奇数个素幂次相乘的个数，减去偶数个素幂次相乘的个数。又因为 $2*3*5 < 60,2*3*5*7 > 60$，那么最多只要考虑三个素幂次相乘情况。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cassert>
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll prime[20] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59};
const int len = 17;
const double eps = 1e-8;

ll ans;
double n;

void dfs(int cur, int num, int total, ll k)
{
    if(k > 60) return; //素因子连乘最多不能超过60次幂，因为2 ^ 60 > 10 ^ 18
    if(num == total) {
        ll p = (ll)(pow(n, 1.0 / (0.0 + k)) + eps) - 1; //先把1去掉,eps精度误差
        ans += p;
        return ; 
    }
    if(cur == len) return ;
    dfs(cur + 1, num, total, k); //第i个素数不选
    dfs(cur + 1, num + 1, total, k * prime[cur]); //第i个素数选择
}

int main()
{
    while(~scanf("%lf", &n)) {
        ll res = 0;
        for(int i = 1; i <= 3; ++i) {
            ans = 0;
            dfs(0, 0, i, 1); 
            //从下标0开始，当前选择素数个数为0,需要选择素数个数i个,选择素数乘积为1
            if(i & 1) res += ans;
            else res -= ans;
        }
        res += 1; //1在dfs时都没有统计
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}