ACM_模板_求一个数的所有因子和(预处理打表)

最新推荐文章于 2023-01-25 14:23:16 发布

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本文介绍了一种高效的算法来求解一个数n的所有因数之和，通过改变思路从求一个数的因数和转变为求一个数在一定范围内作为哪些数的因数，这种方法可以大大减少计算过程中的无效遍历，提高效率。

对于求一个数n的所有因数和，可能很多人的第一想法是遍历1~sqrt(n)来找其因数，但是这样做不好的地方就是我们可能会遍历大量没有用的数，浪费了很多时间，所以我们与其是求一个数的所有因数和不如求一个数在一个范围内是哪些数的因数，这样求解就可以省去大量的时间，从而达到预处理打表的效果。

#include <cstdio>
const int maxn = 500000+2;
int sum[maxn];
int main()
{
	for(int i=1; i<maxn; i++)
		for(int j=1; i*j<maxn; j++)
			sum[i*j] += i;
	int a;
	while(scanf("%d",&a)!=EOF)
		printf("%d\n",sum[a]);
	return 0;
}

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RaAlGhul

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快速求因子个数（rin和快速迭代）

Ray.C.L的博客

02-06

1046

思路：模拟 ```cpp #include <stdio.h> #include <math.h> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll f(ll a){ ll sum = 0; for(ll i = 1;i <= a/i;i++){ ...

G - Short Task（预处理，筛因数）

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04-13

811

题意给你一个正整数c，让你求出一个数n的所有因子的和相加等于c，让你求出最小的n。思路我们可以筛出1~1e7内所有数的因子的和。 for(int i=1 ; i<=N-10 ; i++) for(int j=1 ; j<=(N-10)/i ; j++) d[i*j]+=i; 时间复杂度是(1e7∗log1e71e7*log1e71e7∗log1e7)，给的两秒的时间，应该是够用的。然后剩下的事情就很简单了，我们用一个桶把1~1e7的数加进

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求一个数的所有因数

qq_16077549的博客

02-20

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求一个数的所有因数 func GetFactor(num uint64) []uint64 { res := make([]uint64, 0) for i := 1; i <= int(num); i++ { if int(num)%i == 0 { res = append(res, uint64(i)) } } return res } 测试

【板子】计算一个数的因子的个数

龙进的博客

01-27

441

今天做题的时候做了一道这个题，其中需要算一个数的因子的个数. Let’s denote d(n) as the number of divisors of a positive integer n. You are given three integers a, b and c. Your task is to calculate the following sum: Find the sum modulo 1073741824 (2^30). Input The first line contai

HDU 1164 Eddy's research I（分解质因数）（预处理每个数的质因数分解）

RuanranW

04-04

725

Eddy's research ITime Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 11398 Accepted Submission(s): 7062Problem DescriptionEddy's interest is very...

ACM 算法模板大全

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所有数位相加是指将一个数的所有数字相加得到新的数，然后继续相加直到结果为一位数。 #### 数论(Number Theory) 数论是研究整数性质的数学分支，包括质数、同余、欧拉函数、组合数等概念。 **递推求欧拉函数PHI...

ACM算法模板和pku代码

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本科参加ACM竞赛的过程中积累下来的一部分算法模板，和自己在PKU上面做的一部分题目。模板目录结构：目录: 动态规划 O(n^2)的最长上升子序列 nlogn最长上升子序列高精度计算几何 Graham扫描法两线段交点凸...

foreverzeus大木板 acm模板

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求一个数的质因子** - **13. 容斥原理** - **14. 高斯消元** 这些数学工具和技术在ACM竞赛中极为重要，它们不仅帮助解决特定类型的问题，也是构建更复杂算法的基础。 #### 三、数据结构这部分包括： - **1. RMQ...

ACM模板（吉林大学）

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### ACM模板（吉林大学） #### 图论 - **DAG的深度优先搜索标记** - DAG（有向无环图）是一种重要的图模型，在实际应用中有广泛的用途。本部分介绍了如何在DAG上进行深度优先搜索（DFS）并标记访问过的节点。这种...

ACM_模板_求质因子

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02-26

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求一个数的质因子用到的方法就是有策略的暴力，没求出一个质因子，就让原数消除这一个因数。 //求一个数的质因子 #include int main() { __int64 a[100],num,i,n; while(scanf("%I64d",&n)!=EOF) { num=0; for(i=2;i*i<=n;i++) {

求一个数的所有因子

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10-22

<think>首先，用户查询是：“我想查找ACM数论相关的代码模板请问ACM数论代码模板”。我需要基于系统级指令和用户提供的引用来回答。系统级指令关键点： - 所有行内数学表达式使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 引用末尾添加标识如[^1]。用户提供了几个引用： - [^1]：关于模逆元的计算，使用快速幂或扩展欧几里得算法。 - [^2]：莫比乌斯反演的题目和公式。 - [^3]：预处理阶乘和逆元，用于组合数的计算。 - [^4]：欧拉函数的定义、性质和计算算法。用户的上一次查询是“查找ACM数论相关的代码模板”，所以我需要提供一个清晰的、结构化的回答，涵盖常见的ACM数论模板。核心元素： - **模逆元计算**：快速幂方法（qmi）和扩展欧几里得方法。 - **组合数计算**：预处理阶乘和其逆元。 - **欧拉函数**：朴素方法和线性筛法。 - **快速幂算法**：用于快速计算幂模素数。 - **其他常见模板**：如最大公约数（GCD）、质因数分解、线性筛质数等。由于引用中没有提到所有，我应该补充常见模板，确保回答全面但基于引用优先。结构回答： 1. **引言**：简要介绍ACM数论常见算法。 2. **核心模板**：逐一列出代码模板。 3. **格式**：代码块使用Markdown格式，数学表达式正确。 4. **引用**：在相关部分添加引用标识。 5. **相关问题**：结束时生成相关问题。列出模板： - **快速幂算法**：引用[^1]和[^3]中都有。 - **模逆元计算**：引用[^1]。 - **组合数计算**：引用[^3]。 - **欧拉函数计算**：引用[^4]。 - **其他**：GCD、线性筛质数、扩展欧几里得（引用[^1]中提到）。添加扩展欧几里得，因为它用于模逆元。回答结构： - 逐步呈现每个模板。 - 每个模板先简短描述，然后代码块。 - 确保LaTeX正确。数学表达式： - 行内：如$gcd(n, p) = 1$。 - 独立：如欧拉函数性质。生成相关问题： - 如ACM数论的应用、优化等。最终输出： - 中文回答。 - 相关问题列表。 </think>以下是针对ACM数论常见代码模板的整理。ACM数论题目通常涉及质数、模运算、组合数学等核心算法。我基于您提供的引用内容（参考[^1][^2][^3][^4]），并结合ACM竞赛的常见需求，总结了以下关键模板。模板均使用C++语言实现，并确保语法正确。每个模板包括简要说明、适用条件和代码实现。 ### 1. **快速幂算法** 快速幂用于高效计算 $a^k \mod p$，时间复杂度 $O(\log k)$。适用条件：$p$ 为质数（非质数时需用扩展欧几里得）。 ```cpp typedef long long LL; LL qmi(LL a, LL k, LL p) { // a: 底数, k: 指数, p: 模数 LL res = 1 % p; while (k) { if (k & 1) res = res * a % p; a = a * a % p; k >>= 1; } return res; } /* 示例：计算 2^100 mod 1000000007 qmi(2, 100, 1000000007); */ ``` ### 2. **模逆元计算** 模逆元用于求解 $n^{-1} \mod p$（即 $n \cdot inv \equiv 1 \mod p$）。方法包括快速幂逆元（要求 $p$ 质数且 $gcd(n, p) = 1$）和扩展欧几里得逆元（通用）。 - **快速幂逆元**（引用[^1]）： ```cpp LL inv(LL n, LL p) { // n: 待求逆元的数, p: 模数 return qmi(n, p - 2, p); // 利用费马小定理 } ``` - **扩展欧几里得逆元**（引用[^1]）： ```cpp LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { // 求解 ax + by = gcd(a, b)，返回gcd if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; } LL d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } LL inv_exgcd(LL n, LL p) { LL x, y; exgcd(n, p, x, y); // 解 nx + py = 1 return (x % p + p) % p; // 确保非负 } ``` ### 3. **组合数计算** 预处理阶乘和阶乘逆元，用于快速计算 $C_a^b \mod p$（如组合数）。时间复杂度：预处理 $O(n)$，查询 $O(1)$。适用条件：$p$ 质数且 $a, b \leq N$（$N$ 为预处理上限）（引用[^3]）。 ```cpp const int N = 1000010; // 预处理上限 const int mod = 998244353; // 常用模数，可替换 LL fact[N], infact[N]; // fact[i]: i的阶乘 mod p; infact[i]: i的阶乘逆元 mod p // 预处理函数 void init_comb() { fact[0] = infact[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) { fact[i] = fact[i - 1] * i % mod; infact[i] = infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod; // 使用快速幂求逆元 } } // 计算组合数 C(a, b) mod p LL comb(int a, int b) { if (b < 0 || b > a) return 0; return fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod; } ``` ### 4. **欧拉函数** 欧拉函数 $\phi(n)$ 计算小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的数的个数。常用方法：朴素法 ($O(\sqrt{n})$ ) 和线性筛法 ($O(n \log \log n)$ )（引用[^4]）。 - **朴素法**（单次查询）： ```cpp int euler(int n) { int res = n; for (int i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i == 0) { res = res / i * (i - 1); // 防止溢出 while (n % i == 0) n /= i; } } if (n > 1) res = res / n * (n - 1); return res; } ``` - **线性筛法**（批量预处理）： ```cpp const int Max = 1000010; // 预处理上限 int euler_phi[Max]; void init_euler() { for (int i = 1; i < Max; i++) euler_phi[i] = i; for (int i = 2; i < Max; i++) { if (euler_phi[i] == i) { // i 是质数 for (int j = i; j < Max; j += i) { euler_phi[j] = euler_phi[j] / i * (i - 1); // 更新欧拉函数值 } } } } ``` ### 5. **莫比乌斯反演相关** 莫比乌斯函数常用于处理数论求和问题（如引用[^2]中 $\sum \text{lcm}(a_i, a_j)$）。包括莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 的预处理。 ```cpp const int MAXN = 1000010; int mu[MAXN]; // 莫比乌斯函数数组 vector<int> primes; // 存储质数 bool is_prime[MAXN]; void init_mobius() { fill(is_prime, is_prime + MAXN, true); mu[1] = 1; for (int i = 2; i < MAXN; i++) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); mu[i] = -1; // 质数的莫比乌斯函数值为 -1 } for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] < MAXN; j++) { is_prime[i * primes[j]] = false; if (i % primes[j] == 0) { mu[i * primes[j]] = 0; // 有平方因子 break; } else { mu[i * primes[j]] = -mu[i]; // 积性函数性质 } } } } ``` ### 6. **其他基础模板** - **最大公约数 (GCD)**： ```cpp LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } ``` - **最小公倍数 (LCM)**： ```cpp LL lcm(LL a, LL b) { return a / gcd(a, b) * b; // 避免溢出 } ``` - **质数筛法 (埃氏筛)**： ```cpp const int MAX = 1000010; bool is_prime[MAX]; void init_primes() { fill(is_prime, is_prime + MAX, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i * i < MAX; i++) { if (is_prime[i]) { for (int j = i * i; j < MAX; j += i) { is_prime[j] = false; } } } } ``` ### 注意事项 - 所有模板均假设模数 $p$ 在合理范围内（通常 $p \leq 10^9$），并使用 `long long` 防溢出。 - 在ACM中，欧拉定理和指数降幂公式可用于优化幂运算（引用[^4]）：若 $a$ 和 $n$ 互质，则 $a^k \mod n = a^{k \mod \phi(n)} \mod n$。 - 这些模板覆盖了大部分ACM数论题目，如莫比乌斯反演、组合计数和模方程求解[^1][^2][^3][^4]。