数论：预处理所有质因子&因子&因子个数&每个因子对应的质因子（知识点总结+板子整理）

最新推荐文章于 2024-03-29 11:56:01 发布

小衣同学

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分类专栏：知识点总结文章标签：算法数据结构数论因子质因子

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Code92007/article/details/128760631

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该博客围绕数论中根据质因子求因子展开。介绍了思路来源，包含rainboy代码写法及相关博客。给出一些OEIS链接，如x位数最大因子个数。总结了根据质因子预处理所有因子、判断因子包含哪些质因子的方法，还整理了质因子相关参数的板子。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路来源

rainboy代码的写法

Educational Codeforces Round 142 (Rated for Div. 2) E. Divisors and Table(数论+dp 素因子求因子补写法)_Code92007的博客-优快云博客

一些OEIS链接

A066150 - OEIS，x位数最大的因子个数

知识点总结

1. 如何根据所有质因子，预处理所有因子？

根据约数定理，

对于 $m=p_{0}^{num_{0}}*p_{1}^{num_{1}}*...*p_{c-1}^{num_{c-1}}$ ，其约数个数 $(num_{0}+1)*...*(num_{c}+1)$ ，

考虑新增一个数 $p_{i}$ 的增量贡献，

实际是 $(num_{0}+1)*...*(num_{i}+1)-(num_{0}+1)*...*(num_{i-1}+1)$

记 $d[i+1]=(num_{0}+1)*...*(num_{i}+1)$

因此，可以令区间 $[d[i],d[i+1])$ 中下标 $j$ 对应的数 $v[j]$ ，

从 $v[j-d[i]]$ 通过新增一个素因子 $p_{i}$ 转移而来

// x=prod{v in x}, 获取x的每个因子值v，因子个数前缀积d
    void get_d(vector<int>&x){
        get_p(x);
        v[0]=d[0]=1;
        for(int i=0;i<c;++i){
            d[i+1]=d[i]*(num[i]+1);
            for(int j=d[i];j<d[i+1];++j){
                v[j]=v[j-d[i]]*p[i];
            }
        }
    }

2. 如何判断每个因子有哪些质因子？

每个长为 $d[i+1]$ 的分区，前 $d[i]$ 个是不包含 $p[i]$ 的，后面的才是包含 $p[i]$ 的，

所以，遍历 $c$ 个质因子时，对于下标 $j$ 对应的数 $v[j]$ ，

只有 $j%d[i+1]$ 落到后半段，才表明 $v[j]$ 包含这个质因子 $p[i]$

// x=prod{v in x}, 对于x的每个因子w，获取w的所有质因子pw的list，与下标对应
    map<int,vector<int> >get_p_for_each_d(vector<int>&x){
        get_d(x);
        map<int,vector<int> >all;
        for(int i=0;i<c;++i){
            for(int j=0;j<d[c];++j){
                if(j%d[i+1]>=d[i]){
                    all[v[j]].push_back(p[i]);
                }
            }
        }
        return all;
    }

板子整理

c：质因子的个数

p：p[i]表示第i个质因子的值

num：num[i]表示第i个质因子的出现次数

d：d[i]表示前i个因子形成的因子个数，即因子个数前缀积

v：v[i]表示第i个因子值

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Factor{
    typedef long long ll;
    static const int N=103680;// https://oeis.org/A066150
    int p[N],num[N],d[N],c;
    ll v[N];
    map<int,int>fac;
    Factor(){
        init();
    }
    void init(){
        c=0;
        fac.clear();
    }
    // 质因数分解，视情况可以换为pollard_pho
    void cal_f(int x){
        for(int i=2;1ll*i*i<=x;++i){
            while(x%i==0)x/=i,fac[i]++;
        }
        if(x>1)fac[x]++;
    }
    // x=prod{v in x}，获取x的每个质因子值p，出现个数num
    void get_p(vector<int>&x){
        for(auto &v:x){
            cal_f(v);
        }
        for(auto &w:fac){
            p[c]=w.first;
            num[c++]=w.second;
        }
    }
    // x=prod{v in x}, 获取x的每个因子值v，因子个数前缀积d
    void get_d(vector<int>&x){
        get_p(x);
        v[0]=d[0]=1;
        for(int i=0;i<c;++i){
            d[i+1]=d[i]*(num[i]+1);
            for(int j=d[i];j<d[i+1];++j){
                v[j]=v[j-d[i]]*p[i];
            }
        }
    }
    // x=prod{v in x}, 对于x的每个因子w，获取w的所有质因子pw的list，与下标对应
    map<int,vector<int> >get_p_for_each_d(vector<int>&x){
        get_d(x);
        map<int,vector<int> >all;
        for(int i=0;i<c;++i){
            for(int j=0;j<d[c];++j){
                if(j%d[i+1]>=d[i]){
                    all[v[j]].push_back(p[i]);
                }
            }
        }
        return all;
    }
    // 举个例子
    void show_case(){
        vector<int>x{10,15};
        auto y=get_p_for_each_d(x);
        for(auto &z:y){
            cout<<"fi: "<<z.first<<" fac:";
            for(auto &w:z.second){
                cout<<w<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}f;
int main(){
    f.show_case();
    return 0;
}