【力学•一】运动方程

$\newcommand{\rmd}{{\rm d}} \newcommand{\jf}[4]{\int_{#1}^{#2}#3{\rmd}#4} \newcommand{\nj}[1]{{\left\langle#1\right\rangle}} \newcommand{\kh}[1]{{\left(#1\right)}} \newcommand{\zkh}[1]{{\left[#1\right]}} \newcommand{\dkh}[1]{{\left{#1\right}}} \newcommand{\norm}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\calL}{{\mathcal{L}}} \newcommand{\frakG}{{\mathfrak{G}}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$
　　经验表明，在一个运动规律已知的系统中，给定某一时刻所有质点的坐标和速度信息后，任意其他时刻所有质点位置信息原则上都可以确定。此经验即决定论思想来源。亦即，在某一时刻给定所有广义坐标$q$以及速度$\dot{q}$就唯一确定了该时刻的加速度$\ddot{q}$，进而确定了更高阶速度。而加速度关于坐标与速度的函数关系则称运动方程。运动方程的解即为质点运动。

最小作用量原理

　　亦称哈密顿原理，声称，每一个力学系统都存在一个确定的关于坐标、速度和时间的函数，称拉格朗日函数$\calL$，使得其实际运动作为这个函数在任意两时刻之间作用量泛函$S$的极小元。即，存在

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}\kh{q,\dot{q},t},$$

使得任何实际运动$q=q\kh{t}$总是极小化

$$S=\jf{t_1}{t_2}{\calL\kh{q,\dot q,t}}{t},\quad\forall\kh{t_1,t_2}\in\bbR^2.$$

　　注意拉格朗日函数只与位置和速度有关，为决定论经验的具体体现。由变分原理易得$q=q\kh{t}$为实际运动当仅当

$$\frac{\partial\calL}{\partial q}=\frac{\rmd}{\rmd t}\frac{\partial\calL}{\partial \dot q},$$

称拉格朗日方程。当$\calL$给定时，为二阶常微分方程，将$q$与$\dot q$联系在一起，即为该系统的运动方程。其全体解为全体实际运动。两个积分常数分别对应初始位置和速度。
　　反之，对应一个运动方程的拉格朗日函数并不唯一。设∂L∂q≡d