B样条函数

$\newcommand{\nj}[1]{{\left\langle#1\right\rangle}}\newcommand{\kh}[1]{{\left(#1\right)}}\newcommand{\zkh}[1]{{\left[#1\right]}}\newcommand{\dkh}[1]{{\left\{{#1}\right \}}}\newcommand{\norm}[1]{\left|#1\right|}\newcommand{\normm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}\newcommand{\calA}{{\mathcal{A}}}\newcommand{\calC}{{\mathcal{C}}}\newcommand{\calH}{{\mathcal{H}}}\newcommand{\calN}{{\mathcal{N}}}\newcommand{\calQ}{{\mathcal{Q}}}\newcommand{\calR}{{\mathcal{R}}}\newcommand{\calS}{{\mathcal{S}}}\newcommand{\calW}{{\mathcal{W}}}\newcommand{\calX}{{\mathcal{X}}}\newcommand{\calZ}{{\mathcal{Z}}}\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}\newcommand{\sin}{{\rm sin}}\newcommand{\cos}{{\rm cos}}\newcommand{\Id}{{\rm Id}}$

样条函数空间

　　给定节点$\left\{\xi_i\right\}_{i=0}^n$，记其上分片$k$次多项式、$k-1$次连续可导函数构成的空间为$\calS\left\{k;\xi_0,\cdots\xi_n\right\}$。显然任意$s\in\calS$应有

$$s\kh{x}=\sum_{i=0}^kc_ix^i+\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^{n-1}d_i\zkh{x-\xi_i}^k_+,$$

其中$\zkh{\cdot}_+=\max\left\{0,\cdot\right\}$。从此可看出$\dim \calS=k+n$，然而这个形式的基底为全局的，其支撑并不局部，故无法避免大数加小数的误差。以下寻找$\calS$的局部性基。

B样条

　　要求$\calS$的一函数组满足在$\zkh{\xi_0,\xi_n}\setminus\zkh{\xi_p,\xi_q}$外为零。设

$$\phi\kh{x}=\sum_{i=p}^qd_i\zkh{x-\xi_i}^k_+,$$

即有

$$0=\sum_{i=p}^qd_i\kh{x-\xi_i}^k，\quad x\in\zkh{\xi_q,\xi_n}$$

即

$$0=\sum_{i=p}^qd_i\xi_i^j,\quad 0\leq j\leq k.$$

　　当$q-p=k$时只有0解。当$q-p\geq k+1$时解空间维数为$q-p-k$，特别地，当$q-p=k+1$时有解

$$d_i=\prod_{\substack{j=p\\j\neq i}}^{p+k+1}\frac{1}{\xi_j-\xi_i},\quad i=p,\cdots,p+k+1.$$

　　记

$$B_p^k\kh{x}=\sum_{i=p}^{p+k+1}\zkh{\prod_{\substack{j=p\\j\neq i}}^{p+k+1}\frac{1}{\xi_j-\xi_i}}\zkh{x-\xi_i}^k_+$$

为B样条函数。一共有$n-k$个，显然线性无关。可以证明（暂略），$B_p^k$呈钟型分布，即B样条函数并不是插值函数。

B样条基底

　　显然B样条具有重要的局部性性质，故寻求$\calS$的B样条基底。知还差$2k$个B样条才能构成$\calS$一基。故可选取在$\zkh{\xi_0,\xi_n}$外的节点来构造满足条件的B样条函数。按顺序取节点$\left\{\xi_i\right\}_{i=-k}^{n+k}$。显然$\left\{B_p^k\right\}_{p=-k}^{n-1}$线性无关，且落在$\calS\left\{k;\xi_0,\cdots,\xi_n\right\}$中。故有

　　定理　$\left\{B_p^k\right\}_{p=-k}^{n-1}$构成$\calS\left\{k;\xi_0,\cdots,\xi_n\right\}$一基。

B样条的递归计算

　　记节点为$\left\{\xi_i\right\}_{i=p}^{p+k+1}$，存在关系

$$B_p^k\kh{x}=\frac{\kh{x-\xi_p}B^{k-1}_p\kh{x}+\kh{\xi_{p+k+1}-x}B^{k-1}_{p+1}\kh{x}}{\xi_{p+k+1}-\xi_p}.$$