正定核函数插值误差分析

最新推荐文章于 2024-01-04 14:53:23 发布

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#核函数 #插值 # 逼近阶

本文分析了正定核函数插值的误差，并探讨了逼近阶问题。通过泰勒展开和二次型理论，研究了误差函数的上界，并给出了保持n次多项式的序列条件，证明了逼近阶的成立。

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对正定核函数 $Φ:X×X→R\Phi:X\times X\to\mathbb{R}$ 和采样点 $xi}i=1N⊂X\mathcal{X}\coloneqq\left\{x_i\right\}_{i=1}^N\subset X$ ，其对应的插值基函数应为
$u_i^\ast=\sum_{j=1}^N\left[\Phi^{-1}\right]_{ij}\Phi\left(\cdot,x_j\right),$

其中 $Φ:=[Φ(xi,xj)]ij\Phi\coloneqq\left[\Phi\left(x_i,x_j\right)\right]_{ij}$ 。由此，对任意 $f∈span‾⟨Φ(⋅,x)⟩x∈Xf\in \overline{\text{span}}\left\langle\Phi\left(\cdot,x\right)\right\rangle_{x\in X}$ ，对应插值函数应为
$\mathcal{Q}f\coloneqq\sum_{i=1}^Nf\left(x_i\right)u_i^\ast.$

以下考察误差函数
$\mathcal{E}f\coloneqq f-\mathcal{Q}f.$

对任意 $x∈Xx\in X$ ，有
$\begin{aligned} \left|\left[\mathcal{E}f\right]\left(x\right)\right|&=\left|\left\langle f,\Phi\left(\cdot,x\right)-\sum_{i=1}^Nu_i^\ast\left(x\right)\Phi\left(\cdot,x_i\right)\right\rangle\right|\\ &\leq\left\|f\right\|\left\|\Phi\left(\cdot,x\right)-\sum_{i=1}^Nu_i^\ast\left(x\right)\Phi\left(\cdot,x_i\right)\right\|. \end{aligned}$

遂以下研究函数
$\begin{aligned} P\left(x\right)^2\coloneqq{}& \left\|\Phi\left(\cdot,x\right)-\sum_{i=1}^Nu_i^\ast\left(x\right)\Phi\left(\cdot,x_i\right)\right\|^2\\ ={}&\Phi\left(x,x\right)-2\sum_{i=1}^N\Phi\left(x,x_i\r$