二进制原码、反码、补码

基础概念和计算方法

在探求为何机器要使用补码之前， 让我们先了解原码,，反码和补码的概念.对于一个数,，计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码、反码和补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

模的概念

把一个计量单位称之为模或模数
补码的模为10000 0000
反码的模为1000 0000(从反码的定义也能够知道，即反码的运算不涉及符号位)
模的解释：在日常生活中，有许多化减为加的例子。例如,时钟是逢12进位，12点也可看作0点。
当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法：

• 时针逆时针方向拨5格,相当于做减法：10－5＝5
• 时针顺时针方向拨7格,相当于做加法：10＋(12-5)＝12＋5＝5    (模为 12)
  

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值.。比如如果是8位二进制：
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位。 因为第一位是符号位,，所以8位二进制数的取值范围就是：
[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式

反码

反码的表示方法是：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值。 通常要将其转换成原码再计算

补码

补码的表示方法是：正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变,，其余各位取反， 最后+1.。(即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的， 通常也需要转换成原码在计算其数值。

其他概念

由于计算机中符号和数字一样,都必须用二进制数串来表示,因此,正负号也必须用0、1来表示。用最高位0表示正、1表示负, 这种正负号数字化的机内表示形式就称为“机器数”，
而相应的机器外部用正负号表示的数称为“真值”,将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。

为何要使用原码、反码和补码

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数.。对于正数因为三种编码方式的结果都相同：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释。 但是对于负数：
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码、反码和补码是完全不同的。 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢?
首先， 因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。(真值的概念在本文最开头).。但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单。计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码：
计算十进制的表达式：1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示， 让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题,，出现了反码：
计算十进制的表达式：1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。
于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原,，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是：[-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位。而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。而且实际上并不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，而是刚好相反的，从10000001到11111111依次表示-127到-1
用补码表示负数时：负数X用2^n - |X|来表示，其中n为机器的字长，当n=8时，[-1]补 = 2^8 - 1 = 11111111, [-127]补 = 2^8 - 127 = 100000001

[-0]补=2^8=00000000在补码表示法中只有一种表示，即00000000

转自：http://blog.youkuaiyun.com/yinyhy/article/details/8732118