线性基

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线性基参考博客:
关于线性基的学习与理解
线性基详解

题目:P3812 【模板】线性基

题意:给你一个数组,让你任意选数,使异或和最大。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 100;
LL p[maxn];
void Insert(LL val){
        for(int i = 55; i >= 0; i--){
            if(val&(1ll<<i)){
                if(p[i])val ^= p[i];
                else {
                    p[i] = val;
                    break;
                }
            }
        }
}
int main(){
    int n;
    LL v;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", &v);
        Insert(v);
    }
    LL ans = 0;
    for(int i = 55; i >= 0; i--){
        if((ans^p[i]) > ans)ans ^= p[i];
    }
    printf("%lld\n", ans);
return 0;
}

题目:2460: [BeiJing2011]元素

题意:给你一个序列,每个序列有两个值,一个是序号,另外一个事价值,本题的题意是在序列中任选序列,使数列异或和不为0,并且价值最大。
思路:本题思路就是把序列从大到小排列一个顺序,然后就行现行基构造,在构造的过程中最终没有变为0,那么结果就加上这个价值。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100;
typedef long long LL;
pair<LL, LL>mp[1005];
LL p[maxn];
bool cmp(pair<LL, LL>a, pair<LL, LL>b){
     return a.second > b.second;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%lld %lld", &mp[i].first, &mp[i].second);
    }
    sort(mp, mp+n, cmp);
    LL ans = 0;
    //cout<<(1>>0&1)<<endl;
    memset(p, 0, sizeof p);
    for(int i = 0; i < n; i++){
            LL v = mp[i].first;
        for(int j = 63; j >= 0; j--){
            if(v>>j&1){
                if(p[j])v ^= p[j];
                else {
                    p[j] = v;
                    ans += mp[i].second;
                    break;
                }
            }
 
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
 
return 0;
}

题目:2115: [Wc2011] Xor

题意:就是给你一个图让你从1走到n的路径的最大异或和,存在重边和环。
思路:本题的思路就是随便走一条1~n的路,然后再把环加进去,有回到上面的类型题了。
参考博客:BZOJ2115 [Wc2011] Xor
代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 1e5+10;
int h[maxn<<1], nex[maxn<<1], to[maxn<<1];
LL w[maxn<<1], p[100], vis[maxn], dis[maxn],circle[maxn<<1];
int tot = 0, cnt = 0, u, v;
LL val;

inline void add(int u, int v, LL val)//数组模拟链式前向星
{
    to[tot] = v;
    w[tot] = val;
    nex[tot] = h[u];
    h[u] = tot++;
}

inline void Insert(LL val)//线性基的构造
{
    for(int i = 63; i >= 0; i-- )
    {
        if((val>>i)&1)
        {
            if(p[i])val ^= p[i];
            else
            {
                p[i] = val;
                break;
            }
        }
    }

}

inline void dfs(int x)//搜索
{
    vis[x] = 1;
    for(int i = h[x]; ~i; i = nex[i])
    {
        int v = to[i];
        LL val = w[i];
        if(!vis[v])
        {
            dis[v] = dis[x]^val;//存储这个路径的异或和
            dfs(v);
        }
        else
        {
            circle[cnt++] = dis[x]^dis[v]^val;//只保存环,所以异或上之前的点就把之前的异或和去掉,然后再异或上当前节点
        }
    }
}
int main()
{
    int n, m;
    tot = 0, cnt = 0;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    memset(dis, 0, sizeof dis);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d %d %lld", &u, &v, &val);
        add(u, v, val);
        add(v, u, val);
    }
    dfs(1);
    LL ans = dis[n];
    for(int i = 0; i < cnt; i++)
    {
        if(!circle[i])continue;
        Insert(circle[i]);
    }
    for(int i = 63; i >= 0; i--)//找最大异或和
    {
        if((ans^p[i])>ans) ans ^= p[i];//注意(ans^p[i])>ans,一定要加括号,否就凉凉
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}


线性基学习笔记 我们称一个线性空间V的一个极大线性无关集为这个线性空间的线性基,简称基。 阅读详情

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深度学习工具包Deprecation notice.-----This toolbox is outdated and no longer maintained.There are much better tools available for deep learning than this toolbox, e.g. [Theano](http://deeplearning.net/software/theano/), [torch](http://torch.ch/) or [tensorflow](http://www.tensorflow.org/)I would suggest you use one of the tools mentioned above rather than use this toolbox.Best, Rasmus.DeepLearnToolbox================A Matlab toolbox for Deep Learning.Deep Learning is a new subfield of machine learning that focuses on learning deep hierarchical models of data.It is inspired by the human brain's apparent deep (layered, hierarchical) architecture.A good overview of the theory of Deep Learning theory is[Learning Deep Architectures for AI](http://www.iro.umontreal.ca/~bengioy/papers/ftml_book.pdf)For a more informal introduction, see the following videos by Geoffrey Hinton and Andrew Ng.* [The Next Generation of Neural Networks](http://www.youtube.com/watch?v=AyzOUbkUf3M) (Hinton, 2007)* [Recent Developments in Deep Learning](http://www.youtube.com/watch?v=VdIURAu1-aU) (Hinton, 2010)* [Unsupervised Feature Learning and Deep Learning](http://www.youtube.com/watch?v=ZmNOAtZIgIk) (Ng, 2011)If you use this toolbox in your research please cite [Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data](http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=6284)```@MASTERSTHESIS\{IMM2012-06284, author = "R. B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

线性基 系列

线性基是一种擅长处理异或问题的数据结构。设原数组值域为1n,我们用一个长度与n的二进制下位数相等的数组(即长度为⌈logn⌉)描述一个线性基。线性基XiiXai​X3XXX0X1​xorX2​xorX3​0X1​xorX2​X3​因此线性基把规模为2n的组合,缩小为了规模为2⌈logn⌉的集合。根据线性无关性,对于线性基X,记k∣X∣为X元素个数,除去空集0,能够组合出的结果有2k−1种。

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2301_80198205的博客 588

线性代数之线性基

在谈论线性基之前,先介绍什么是基向量.根据高中数学,一个二维直角平面坐标系中的所有向量都可以只用(0, 1)和(1, 0)合成.那么(0, 1)和(1, 0)就是,所有基向量能合成的所有向量被称为基向量的在二维空间中,有没有其他的向量能作为基向量呢?答案是肯定的.上图的两个向量的张成跟(0, 1)和(1, 0)的张成空间是一样的.注意到,只要两个向量不共线,其张成都跟(0, 1)和(1, 0)的张成空间一样,即都可以作为二维空间的基向量.

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