LCM from 1 to n LightOJ - 1289

题目：LCM from 1 to n LightOJ - 1289 

题意：给你一个数n求LCM（1， 2,........,n ）,LCM 为最大公约数。

思路：该题可以根据n = 10找一下规律。

1    2   3    4    5    6     7     8     9    10

最大公约数为5 * 7 * 8* 9 = 2520，可以看出规律LCM等于p1^x1*p2^x2*p3^x3........pn^xn, p1...pn,为连续的质数。那么xi怎么求，n不断的除以pi,例如上面的例子，8就是10不断的除以2，一共除以3次2，所以2^3 = 8,所以8出来了，9同样的道理，10不断的除以3z最多除以两次3，3^2 = 9,那么9就出来了。所以需要把素数筛出来，但是数据的范围是1e8所以直接开数组不可以，所以需要位图，只需要理解位图的原理，咱么有比较好用的STL的容器bitset和位图的原理一样，可以压缩空间。那么我们直接上欧拉筛，把素数直接筛出来。虽然把素数筛出来但是还是存在问题的，如果你把所有的素数直接遍历到n之间最大的素数，最终的结果指定超时，所以我们就想到，前缀积（就是前缀和的思想），然后查找到比n小的最大的素数，然后在重新遍历以下pri[i]*pri[i] <= n（大于这个条件的素数就只有一个，已经利用前缀积求出来了）的数，求出n连续除以pri[i]的个数减去1，为什么减去1,因为前缀积已经求了，所以需要减去1.

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 1e8+5;
unsigned int pri[5800000];
const long long mod = 1LL<<32;
unsigned int sum[5800000];
bitset<maxn>vis;//位图压缩空间
int cn = 1;
void Prime(){//欧拉筛
     pri[0] = 0;
     for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!vis[i])pri[cn++] = i;
        for(int j = 1; j < cn && i * pri[j] < maxn; j++){
            vis[i*pri[j]] = true;
            if(i % pri[j] == 0)break;
        }
     }
     sum[0] = 1;
     for(int i = 1; i < cn; i++){//前缀积
        sum[i] = sum[i-1]*pri[i];
     }
    // pri[cn] = maxn;
}
LL q_pow(int a, int b){//快速幂
   LL ans = 1, base = a;
   while(b){
       if(b & 1)ans = (ans * base) % mod;
       base = (base * base) % mod;
       b >>= 1;
   }
return ans;
}
int main(){
    Prime();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    int ca = 0;
    //cout<<cn<<endl;
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int pos = upper_bound(pri+1, pri+cn, n) - pri-1;//二分查找第一个比n大的数，然后减去1，就小于等于n
        LL ans = sum[pos] % mod;
        for(int i = 1; i < cn && pri[i]*pri[i] <= n; i++){//
            int t = n;
            int k = 0;
            while(t / pri[i]){
                t /= pri[i];
                k++;
            }
            ans = q_pow(pri[i], --k)*ans % mod;
        }
        printf("Case %d: %lld\n",++ca, ans%mod);
    }

return 0;
}