中国剩余定理学习笔记

上次jt暑假讲的时候我数学太弱并没有听懂qwq。

假设有方程组($m_i$两两互质)

$$x≡a_i(mod\ m_i)$$

令

$$M=\prod_{i=1}^{n}m_i,w_i=\frac{M}{m_i}$$

易知有

$$gcd(w_i,m_i)=1$$

下一步求出$p_i$使得

$$w_i*p_i≡1(mod\ m_i)$$

这个时候x的一个解可以表示为

$$x=\sum_{i=1}^{n}w_i*p_i*a_i$$

为什么x可行呢？只需要用原来的方程一个一个验证即可，对于第i个方程

$$x \% m_i=\sum_{i=1}^{n}w_i*p_i*a_i\%m_i$$

此时除了$gcd(w_i , m_i)=1$之外别的$w_i$均为$m_i$的倍数，又由于$w_i*p_i≡1(mod\ m_i)$，所以最后剩下的就是一个$a_i$

嗷所以就证明这是原方程组的一个可行解咯，中国古代人民的智慧还真是美丽无比。