凯利公式原理简述

今天有兴趣看看凯利公式，发现大部分文章只讲怎么用，不讲原理，自己思考了一下，并打算记录一下。

凯利公式解决的问题

实际用处部分写的简略，一是会接触这个公式的人，肯定是先知道它能解决什么问题，才学习的，二是已经有很多文章了。
大概来说，该公式解决一个问题：在赌局中知道输赢概率和赔率时，下注多少是最优的，结果是
$$f^{\ast }=\frac{p\ast b-(1-p)\ast l}{b\ast l}$$
其中p是赢的概率，b是赢时的收益率，比如本金翻倍的话，b是1，即100%。l是输时的收益率绝对值，输一半就是50%，全输光就是100%。
可以参考以下文章：
https://blog.youkuaiyun.com/qq_37477357/article/details/105516818

凯利公式的内涵

首先举个例子，猜大小，50%胜率，赢了翻3倍，收益率200%，输了输光，收益率-100%。压多少？
如果从单次期望来看，全压，因为期望是正的。但只要输一次，就输光，完蛋。所以单次期望在这里失效，为什么失效？因为这是一个连续游戏，如果按50%胜率，至少要一输一赢才是一轮，而连续游戏，就是无数轮拼接，当然实际中不可能刚好一输一赢，这也是一种期望。
那如果看一轮的收益率呢？赢一把本金乘3，输一把归零，所以一轮合起来就是归零，所以不能这么下注。挺反直觉的，但符合现实情况。
那下注我本金的1%呢？是不会归零但是增长太慢了。所以存不存在有个地方能让我在连续游戏下期望收益最大？这就是凯利公式的内涵。

凯利公式的推导

这是一个最值问题，首先写出连续游戏下的期望
$$f(x)=(1+bx{)}^p\ast (1-lx{)}^{1-p}$$
f表示每完成一次的期望，x表示下注值，其余符号如前所述。这个期望就很不太容易写出来，跟单次期望差别很大，为什么p在指数上？
举个例子，还考虑刚才的猜大小游戏，如果一轮是一输一赢，那两轮下来，每轮平均收益率是多少？$\sqrt{(1+200\%\ast 1)\ast (1-100\%\ast 1)}$这里p是50%，即$\frac{1}{2}$，这两个小括号部分开二次根号也可以理解为是二分之一次方。
也就是说其实最开始是这样
$$f(x)=[(1+bx{)}^{100p}\ast (1-lx{)}^{(100-100p)}{]}^{\frac{1}{100}}$$
大概是这个样子，毕竟100p也不见得是整数。

然后看看这里面的变量，只有x，而f(x)是每次后的期望，注意这不是钱的数量，是这一次结束后，拥有的钱的期望。x也不是时间，而是下注值。
然后要求f(x)的最大值，就用导数为0的方法推导一下即可。为什么要强调上面这句话？因为我之前习惯性把f(x)当作一个财富关于下注量的函数，并且想不通为什么导数为0时最优，因为这时表示财富并没有增长而是停滞了。其实这个f(x)更像是财富的导数，相当于二阶导为0找出增长最快的点那个意思。

总结

凯利公式的理念大于实用程度，毕竟能清楚地得到所要的输赢概率和赔率数据的地方，不会让你能通过这个公式赚到钱，不能清楚得到这些数据的市场，即使用了也只能作为参考，真正理解连续游戏和单轮游戏的期望差别才是关键点。