[ABC383D] 9 Divisors 题解

题目大意

求出不大于 $n$ 的正整数中恰好有 $9$ 个正因子的个数。

题目分析

先来看一下一个数论的小知识：自然数因数的个数等于它分解质因数后各质因数指数加 $1$ 的和的乘积。

那么 $9$ 个因数的数就必定满足下列公式之一：

1. $$x=a^2\times b^2$$
2. $$x=a^8$$
   而且 $a$ 和 $b$ 都是质数，我们就只需要用欧拉筛来创建一个质数数组，并且枚举 $a$ 和 $b$ 即可。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
//定义一个范围是1~1e6的质数数组，因为1e12的平方根是1e6。 
bool isp[1000005];
int n,k,ans,p[1000005];
//欧拉筛 
void work(){
	memset(isp,1,sizeof isp);
	isp[1]=0;
	for(int i=2;i<=1000005;i++){
		if(isp[i]==1) p[++k]=i;
		for(int j=1;j<=k&&i*p[j]<=1000005;j++){
			isp[i*p[j]]=0;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
main(){
	cin>>n;
	work();
	//公式一 
	for(int i=1;i<=k;i++){
		//如果自己乘上下一个质数就比n大，就没有下去的意义了。 
		if((p[i]*p[i]*p[i+1]*p[i+1])>n){
			break;
		}else{
			//枚举第二个质数 
			for(int j=i+1;j<=k;j++){
				if(p[i]*p[i]*p[j]*p[j]<=n) ans++;
				else break;
			}
		}
	}
	//公式二 
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(pow(p[i],8)<=n) ans++;
		else break;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}