浅谈 SPFA 的堆优化

我下午在做最短路时想到了 SPFA 可以使用堆优化来做，并且经过实践我得出了它确实有效。

之后我上网搜索，网络上很少有过关于 SPFA 堆优化的论述，就算有也讲的不太清楚，因此此文章就来回答一下三个问题，如有错误，欢迎私信。

问：它的运行时间是否在遇到大部分数据时都小于等于普通的 SPFA ？

答：它的运行时间在正权图上等价于 Dijkstra 算法，但在负权图上可以被卡到指数级的复杂度。

问：它和 Dijkstra 一样吗？

答：它和 Dijkstra 不一样。应为它支持一个点重复入堆，而 Dijkstra 遍历到某结点时必须判断该结点有没有被统计过，若被统计过应当直接跳过。

问：它能否继承普通 SPFA 的特点，如判断负环和处理负权图？

答：能。堆优化的 SPFA 能够继承普通 SPFA 处理负权图的能力，并且同样能够检测负权环。这是因为它在松弛过程中保留了 Bellman-Ford 算法的核心特性：对每个顶点进行最多 $n-1$ 次松弛操作（其中 $n$ 是顶点数）。如果某个顶点在算法结束时仍然可以被松弛，或者某个顶点被松弛的次数超过了 $n-1$ 次，那么图中就存在负权环。需要注意的是,它在处理某些负权图上可以被卡到指数级的复杂度。

总结

SPFA 的堆优化在正权图上完全可以被 Dijkstra 算法所替代，而在负权图的复杂度也是不如普通的 SPFA 的。在选择最短路径算法时，你仍然需要根据问题的具体要求和图的特性来做出明智的决策。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,d,h[500005],ans[100005],js;
struct edge{
	int n,v,w;
}a[500005];
struct node{
	int id,w;
	bool operator<(const node &a)const{
		return w>a.w;
	}
};
void add(int u,int v,int w){
	a[++js].n=h[u];
	a[js].v=v;
	a[js].w=w;
	h[u]=js;
}
void spfa(int d){
	priority_queue<node> q;
	memset(ans,0x3f3f3f3f3f,sizeof ans);
	ans[d]=0;
	q.push(node{d,0});
	while(q.empty()==0){
		node f=q.top();
		q.pop();
}