浅谈Spfa

一、前言

1、什么是spfa
在很多的博客和百科里都有介绍比Dj算法更强大，比ford更省时间，这里就不多说了；
2、为什么他能处理带负权的
在每次碰到更优的解时，将下一个节点再次入队列，会按照路径顺次的优化之前的。而Dj算法后面的最优是建立在当前的，只能做加法，即使有更小的也不能回头了；
3、什么是负环、怎样判断负环？
所谓负环，不是带有负权的回路都是，而是回路的权值和为负数的才叫负环。
判断负环可以用拓扑排序，也可以在spfa标记出队列次数，超过n(点的个数)便是由负环，个人理解就是在没有负环的的情况下，i点最多可以被其余的n-1个点优化n-1次，所以>=n次就是有负环了。

二、算法

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 
    SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
    从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。 
    很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

    简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）：
    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 
    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 
    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

                                                                        

                                                     

和广搜bfs的区别：
    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

算法的描述： 
void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
    for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离，不在队列
    dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
    vis[s]=true; //源点s入队列
    head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
    while head<tail do {
       head+1;  //队首出队
       v=q[head];  //队首结点v
       vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队
       for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
  	  if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
          {
                dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
		if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列
          }
	 	
    } 

最短路径本身怎么输出？

    在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？
    我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。
    如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了：

void printpath(int k){
	if (path[k]!=0) printpath(path[k]);
	cout << k << ' ';
}

 spfa算法模板(邻接矩阵)：

void spfa(int s){
	for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每点i到s的距离
	dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s;  队列初始化,s为起点
	int i, v, head=0, tail=1;
	while (head<tail){   队列非空
		head++; 
		v=q[head];  取队首元素
		vis[v]=0;   释放队首结点，因为这节点可能下次用来松弛其它节点，重新入队
		for(i=0; i<=n; i++)  对所有顶点
		   if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){  
				dis[i] = dis[v]+a[v][i];   修改最短路
				if (vis[i]==0){  如果扩展结点i不在队列中，入队
					tail++;
					q[tail]=i;
					vis[i]=1;
				}
		   }
		
	}
}

像上图这个示例，当负权边小于-5这个环路就成了负环

测试示例：

4 4

1 2 1
2 4 3
4 3 -5
3 2 2

判断有无负环模板

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<queue>

#define maxn 105

#define maxm 10005

#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

struct Node {

	int to,next,w;

}edge[maxm];

int us_ing[maxn],outqueue[maxn],head[maxn],dis[maxn],n,m;

//us_ing表示当前在队列中的//outqueue表示出队列次数 //low表示最短路径//head，edge是链式前向星

 

int spfa(int start)

{

	queue <int> q;

	us_ing[start]=1;

	dis[start]=0;

	q.push(start);

	while(!q.empty())

	{

		int top=q.front();

		q.pop();

		us_ing[top]=0;

		outqueue[top]++;

		if(outqueue[top]>n)	return 0;

		for(int i=head[top];i!=-1;i=edge[i].next)

		{

			if(dis[edge[i].to]>dis[top]+edge[i].w)

			{

				dis[edge[i].to]=dis[top]+edge[i].w;

				if(!us_ing[edge[i].to])

				{

					us_ing[edge[i].to]=1;

					q.push(edge[i].to);

				}

			}

		}

	}

	return 1;

}

int main()

{

	while(~scanf("%d%d",&n,&m))

	{

		memset (us_ing,0,sizeof(us_ing));

		memset (head,-1,sizeof(head));

		memset (outqueue,0,sizeof(outqueue));

		memset (dis,INF,sizeof(dis));

		int index=0;

		for(int i=0;i<m;i++){

			int u,v,w;

			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

			edge[index].to=v; edge[i].w=w; edge[index].next=head[u]; head[u]=index++;

//			edge[index].to=u; edge[index].next=head[v]; head[v]=index++;	//无向边的时候 

		}

		if(spfa(1))

			printf("%d\n",dis[n]);

		else

			printf("有负环，不存在最短路\n");

	}

	return 0;

}

 

 

【程序1】畅通工程 (laoj1138)

        某省自从实行了很多年的畅通工程计划后，终于修建了很多路。不过路多了也不好，每次要从一个城镇到另一个城镇时，都有许多种道路方案可以选择，而某些方案要比另一些方案行走的距离要短很多。这让行人很困扰。 
    现在，已知起点和终点，请你计算出要从起点到终点，最短需要行走多少距离。
输入格式：
    第一行包含两个正整数N和M(0<N<200,0<M<1000)，分别代表现有城镇的数目和已修建的道路的数目。城镇分别以0～N-1编号。
    接下来是M行道路信息。每一行有三个整数A,B,X(0<=A,B<N,A!=B,0<X<10000),表示城镇A和城镇B之间有一条长度为X的双向道路。 
    再接下一行有两个整数S,T(0<=S,T<N)，分别代表起点和终点。
输出格式：
    输出最短需要行走的距离。如果不存在从S到T的路线，就输出-1。
样例输入1：
3 3
0 1 1
0 2 3
1 2 1
0 2
样例输入2：
3 1
0 1 1
1 2 
样例输出1：
2
样例输出2：
-1

【分析】 注意本题可能有结点为0的顶点，我就在这上面wa了很多次。并且有可能两个城镇之间有多条道路，我们要保留最小的那条。

#include <iostream>
using namespace std;
int q[10001], dis[201], a[201][201], b[201][201];
bool vis[201];
int n, m, s, t;
void spfa(int s){
	for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999;
	dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s;  队列的初始状态,s为起点
	int i, v, head=0, tail=1;   
	while (head<tail){    队列不空
		head++;
		v=q[head];   取队首元素
		vis[v]=0;   释放结点，一定要释放掉，因为这节点有可能下次用来松弛其它节点
		for(i=1; i<=b[v][0]; i++)
		   if (dis[b[v][i]] > dis[v]+a[v][b[v][i]]){
				dis[b[v][i]] = dis[v]+a[v][b[v][i]];   修改最短路
				if (vis[b[v][i]]==0){   扩展结点入队
					tail++;
					q[tail]=b[v][i];
					vis[b[v][i]]=1;
				}
		   }
		
	}
}
int main(){
	int x, y, z;
	cin >> n >> m;   //n结点数;m边数
	for(int i=0; i<m; i++){
		cin >> x >> y >> z;   x,y一条边的两个结点;z这条边的权值
		if (a[x][y]!=0 && z>a[x][y]) continue;如果两顶点间有多条边，保留最小的一条
		b[x][0]++; b[x][b[x][0]]=y; a[x][y]=z;   b[x,0]以x为一个结点的边的条数
		b[y][0]++; b[y][b[y][0]]=x; a[y][x]=z;
	}
	cin >> s >> t;   读入起点与终点
	spfa(s);
	if (dis[t]!=99999999) cout << dis[t] << endl;
	else cout << -1 << endl;
	return 0;
}