[菜鸟训练]53. 最大子序和

题目描述:

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：
输入：nums = [0]
输出：0

示例 4：
输入：nums = [-1]
输出：-1

示例 5：
输入：nums = [-100000]
输出：-100000

提示：
1 <= nums.length <= 3 * 10⁴
-10⁵ <= nums[i] <= 10⁵

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

解题思路：

方法一： dp，根据题目我们不难得出表达式：
dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);

dp[i]代表当前前i个元素的最大和是多少。

代码：

public class LC53 {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        //dp问题
        int[] dp = new int[nums.length + 10];
        dp[0] = nums[0];
        int max = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            max = Math.max(dp[i],max);
        }
        return max;

    }

    public static void main(String[] args){
        LC53 obj = new LC53();
        int[] nums = new int[]{2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
        System.out.println(obj.maxSubArray(nums));
    }
}

方法二： 分治算法，时间复杂度 O(n) 空间复杂度O(logn)。不如dp简单且高效，但该方法可以进一步得出任意区间内的最大子段和。个人还是建议使用dp。

	/*
    分治算法  时间复杂度 O(n)  空间复杂度O(logn)
    对于一个区间[l,r]我们维护该区间的四个量：
    lSum：表示[l,r]内以l为左端点的最大子段和
    rSum：表示[l,r]内以r为右端点的最大子段和
    iSum：表示[l,r]的区间和
    mSum：表示[l,r]内的最大子段和


    好处：我们通过此方法可以进一步得出任意区间上的最大子段和
     */
    class Status{
        public int lSum,rSum,mSum,iSum;

        public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum) {
            this.lSum = lSum;
            this.rSum = rSum;
            this.mSum = mSum;
            this.iSum = iSum;
        }
    }

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return getmSum(nums, 0, nums.length - 1).mSum;
    }

    //分治，一层层向下分，直到区间元素只有一个时，再往上返
    public Status getmSum(int[] nums, int l, int r){
        //如果该区间内仅有一个数，那四个值都为该数本身
        if (l == r){
            return new Status(nums[l], nums[l], nums[l], nums[l]);
        }
        int mid = (l + r)/2;
        Status lSub = getmSum(nums,l,mid);
        Status rSub = getmSum(nums,mid+1,r);
        return pushUp(lSub,rSub);
    }

    /*
    判断当前区间中的值为多少：以下说的左区间为[l,mid] 右区间为[mid+1,r] 总区间为[l,r]
    iSum：总区间的iSum就是左右区间的iSum相加
    lSum：总区间的iSum可能是左区间的iSum，也可能是左区间的iSum+右区间的lSum，找两者的最大值
    rSum：总区间的rSum可能是右区间的rSum，也可能是右区间的iSum+左区间的rSum，找两者的最大值
    mSum：总区间的mSum可能包括了mid，也可能不包括，所以找左区间mSum、右区间mSum和左区间rSum+右区间lSum的最大值
     */
    public Status pushUp(Status l,Status r){
        int iSum = l.iSum + r.iSum;
        int lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
        int rSum = Math.max(r.rSum, l.rSum + r.iSum);
        int mSum = Math.max(Math.max(l.mSum,r.mSum), l.rSum + r.lSum);
        return new Status(lSum,rSum,mSum,iSum);
    }