Floyd(弗洛伊德)算法 详解+模板

弗洛伊德算法介绍

和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

基本思想

 通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。

 假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵S进行N次更新。初始时，矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。 接下来开始，对矩阵S进行N次更新。第1次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i与j之间经过第1个顶点的距离")，则更新a[i][j]为"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][k]+a[k][j]"，则更新a[i][j]为"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之后，操作完成！

 单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

弗洛伊德算法图解

以上图G4为例，来对弗洛伊德进行算法演示。

初始状态：S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。
第1步：初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步：以顶点A(第1个顶点)为中介点，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以顶点a[1]6，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而将A作为中介点时，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理，依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点，并更新a[i][j]的大小。

弗洛伊德算法的代码说明

以"邻接矩阵"为例对弗洛伊德算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 顶点集合
    int vexnum;           // 顶点数
    int edgnum;           // 边数
    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph

Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

2. 弗洛伊德算法

模板1
/*

• floyd最短路径。
• 即，统计图中各个顶点间的最短路径。
• 参数说明：

•    G -- 图
  

• path -- 路径。path[i][j]=k表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径会经过顶点k。
  

• dist -- 长度数组。即，dist[i][j]=sum表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径的长度是svoid floyd(Graph G, int path[][MAX], int dist[][MAX])
  

{
int i,j,k;
int tmp;
// 初始化
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
dist[i][j] = G.matrix[i][j]; // “顶点i"到"顶点j"的路径长度为"i到j的权值”。
path[i][j] = j; // "顶点i"到"顶点j"的最短路径是经过顶点j。
}
}

// 计算最短路径
for (k = 0; k < G.vexnum; k++)
{
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            // 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短，则更新dist[i][j]和path[i][j]
            tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
            if (dist[i][j] > tmp)
            {
                // "i到j最短路径"对应的值设，为更小的一个(即经过k)
                dist[i][j] = tmp;
                // "i到j最短路径"对应的路径，经过k
                path[i][j] = path[i][k];
            }
        }
    }
}

// 打印floyd最短路径的结果
printf("floyd: \n");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
    for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        printf("%2d  ", dist[i][j]);
    printf("\n");
}

}自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/

模板2：

#include <stdio.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int map[1000][1000];
int main()
{
    int k,i,j,n,m;
    //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
    scanf("%d %d",&n,&m);

    //初始化
    for(i=1; i<=n; i++)
        for(j=1; j<=n; j++)
            if(i==j)
                map[i][j]=0;
            else
                map[i][j]=inf;
    int a,b,c;
    //读入边
    for(i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        map[a][b]=c;//这是一个有向图
    }

    //Floyd-Warshall算法核心语句
    for(k=1; k<=n; k++)
        for(i=1; i<=n; i++)
            for(j=1; j<=n; j++)
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];

    //输出最终的结果,最终二维数组中存的即使两点之间的最短距离
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            printf("%10d",map[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}