蓝桥杯 斐波那契【第五届】【省赛】【A组】C++ 矩阵快速幂

本文介绍了一种解决斐波那契数列求和并取模问题的高效算法,利用矩阵快速幂技巧,同时考虑内存限制和时间效率,适用于大规模数据。核心内容包括内存消耗控制、取模运算和矩阵乘法的优化。

资源限制

内存限制:256.0MB   C/C++时间限制:1.0s   Java时间限制:3.0s   Python时间限制:5.0s

  斐波那契数列大家都非常熟悉。它的定义是:

  f(x) = 1 .... (x=1,2)
  f(x) = f(x-1) + f(x-2) .... (x>2)

  对于给定的整数 n 和 m,我们希望求出:
  f(1) + f(2) + ... + f(n) 的值。但这个值可能非常大,所以我们把它对 f(m) 取模。
  公式参见【图1】



  但这个数字依然很大,所以需要再对 p 求模。

数据格式

  输入为一行用空格分开的整数 n m p (0 < n, m, p < 10^18)
  输出为1个整数

  例如,如果输入:
  2 3 5
  程序应该输出:
  0

  再例如,输入:
  15 11 29
  程序应该输出:
  25

  资源约定:
  峰值内存消耗 < 256M
  CPU消耗 < 1000ms


  请严格按要求输出,不要画蛇添足地打印类似:“请您输入...” 的多余内容。

  所有代码放在同一个源文件中,调试通过后,拷贝提交该源码。

  注意: main函数需要返回0
  注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准,不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
  注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>, 不能通过工程设置而省略常用头文件。

  提交时,注意选择所期望的编译器

<think>好的,我需要帮用户解答关于蓝桥杯C++中的算法和例题的问题。首先,用户之前已经问过CUDA,现在转向蓝桥杯,可能是在准备考研复试时需要这方面的知识。用户可能希望得到简明扼要的复试回答要点,所以需要结构清晰,重点突出。 首先,蓝桥杯算法范围,我需要回忆常见的考点,比如排序、动态规划、图论、数论等。需要分点列出,每个算法下要有典型例题,这样用户能更好地理解。同时,用户提到的是C++,所以需要强调C++算法实现中的常用技巧,比如STL的使用,输入输出优化等。 需要注意的是用户要求的是“简述”,所以每个部分不能太冗长,但又要覆盖主要点。比如动态规划中的背包问题,图论中的最短路径,数论中的质数判断等。例题方面,蓝桥杯历届真题中的经典题目,如数字三角形、斐波那契数列、迷宫问题等,都是很好的例子。 另外,用户可能需要一些应试技巧,比如如何高效准备,时间管理,调试技巧等。这部分可以作为最后的备考建议,增加回答的实用性。 还要检查是否符合之前的系统级指令,比如数学公式用$...$,独立公式用$$...$$,但根据当前问题,可能涉及代码块,所以需要用正确的格式。同时用中文回答,结构清晰,分点说明。 可能需要验证一些例题是否确实属于蓝桥杯的考点,比如全排列、最小生成树等是否常见。此外,注意例题的难度是否适中,适合复试中简要介绍的程度。 总结下来,回答的结构应该是先概述蓝桥杯,然后分算法类别介绍,每个类别下给出典型例题,最后给出备考建议。需要确保内容准确,重点突出,符合用户需求。</think>以下是关于**蓝桥杯C++算法与例题**的简述,适合考研复试应答: --- ### **一、比算法核心分类** 蓝桥杯C++算法题主要考察**基础算法**与**数据结构**的综合应用,重点包含以下类别: #### **1. 排序与搜索** - **典型算法**: - 快速排序、归并排序(时间复杂度$O(n \log n)$) - 二分查找(时间复杂度$O(\log n)$) - **例题**: **「数字三角形」**(历届真题):从三角形顶端到底部路径的最大值,需结合动态规划与路径搜索。 #### **2. 动态规划(DP)** - **常见模型**: - 背包问题(0-1背包、完全背包) - 最长公共子序列(LCS) - 斐波那契数列优化(矩阵快速幂,时间复杂度$O(\log n)$) - **例题**: **「砝码称重」**:给定不同重量的砝码,求能合出的不同重量总数(需状态转移方程设计)。 #### **3. 图论算法** - **核心内容**: - 最短路径(Dijkstra、Floyd算法) - 最小生成树(Prim、Kruskal算法) - 拓扑排序(判断有向无环图) - **例题**: **「迷宫问题」**(历届真题):求从起点到终点的最短路径步数(BFS或DFS实现)。 #### **4. 数论与数学** - **高频考点**: - 质数筛法(埃氏筛、欧拉筛) - 最大公约数(GCD)与快速幂 - 合数学(排列合计数) - **例题**: **「等差数列」**(2019年):给定数列片段,求可能的最短等差数列长度。 #### **5. 字符串处理** - **重点技巧**: - KMP算法(字符串匹配) - 字典树(Trie树) - 回文子串检测(Manacher算法) - **例题**: **「最长回文子串」**(模拟题):利用中心扩展法或动态规划求解。 --- ### **二、例题解析示例** #### **例1:全排列问题(递归回溯)** **题目**:输入整数$n$,输出1~n的全排列。 **代码框架**: ```cpp void backtrack(vector<int>& path, vector<bool>& used) { if (path.size() == n) { print(path); return; } for (int i=1; i<=n; i++) { if (!used[i]) { used[i] = true; path.push_back(i); backtrack(path, used); path.pop_back(); used[i] = false; } } } ``` #### **例2:最小生成树(Kruskal算法)** **题目**:给定无向图,求连接所有节点的最小边权值和。 **关键步骤**: 1. 边按权值升序排序。 2. 用并查集(Union-Find)判断是否成环。 3. 累计不构成环的边权值。 --- ### **三、C++实现技巧** 1. **STL库高效使用**: - `vector`代替原生数 - `priority_queue`实现堆结构 - `unordered_map`加速哈希查询 2. **输入输出优化**: ```cpp ios::sync_with_stdio(false); // 关闭同步流 cin.tie(0); // 解绑cin与cout ``` 3. **代码模板化**: 提前准备常用算法模板(如并查集、快速幂)。 --- ### **四、备考建议** 1. **刷题优先级**: - 蓝桥杯官网历年真题(、国) - 《算法入门经典(第2版)》例题 2. **时间分配**: - 编程题(70%时间) - 结果填空题(20%时间) - 代码补全题(10%时间) 3. **调试技巧**: - 边界条件测试(如n=0或n=1) - 输出中间变量验证逻辑。 --- ### **总结** 蓝桥杯C++**核心考察对基础算法的灵活运用与代码实现能力**,需重点掌握动态规划、图论、数论等高频考点,并通过真题训练提升解题速度。
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