剑指 Offer（第2版）面试题 47：礼物的最大价值

剑指 Offer（第2版）面试题 47：礼物的最大价值

题目来源：60. 礼物的最大价值

解法1：动态规划

最简单、最标准的二维动态规划题。

状态转移：

1. 如果 i == 1，说明在第一行，只能从左边转移，dp[i][j] = dp[i][j-1] + gird[i-1][j-1]。
2. 如果 j == 1，说明在第一列，只能从上边转移，dp[i][j] = dp[i-1][j] + gird[i-1][j-1]。
3. 否则，有向右或者向下移动一格 2 种选择，转移方程：dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + gird[i-1][j-1]。

代码：

class Solution
{
public:
	int getMaxValue(vector<vector<int>> &grid)
	{
		if (grid.empty() || grid[0].empty())
			return 0;
		int m = grid.size(), n = m ? grid[0].size() : 0;
		vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
		// 初始化
		dp[1][1] = grid[0][0];
		for (int i = 2; i <= m; i++)
			dp[i][1] = dp[i - 1][1] + grid[i - 1][0];
		for (int j = 2; j <= n; j++)
			dp[1][j] = dp[1][j - 1] + grid[0][j - 1];
		// 状态转移
		for (int i = 2; i <= m; i++)
			for (int j = 2; j <= n; j++)
				dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
		return dp[m][n];
	}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是矩阵 grid 的行数和列数。

空间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是矩阵 grid 的行数和列数。

这里我们新创建了一个二维状态数组 dp，如果可以改动原矩阵 gird，我们能省下空间，使得空间复杂度变成 O(1)。

代码：

class Solution
{
public:
	int getMaxValue(vector<vector<int>> &grid)
	{
		if (grid.empty() || grid[0].empty())
			return 0;
		int m = grid.size(), n = m ? grid[0].size() : 0;
		// 状态转移
		for (int i = 0; i < m; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				if (i == 0)
					grid[i][j] += grid[i][j - 1];
				else if (j == 0)
					grid[i][j] += grid[i - 1][j];
				else
					grid[i][j] += max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]);
			}
		return grid[m - 1][n - 1];
	}
};