[弹性力学]应力转轴公式和应变转轴公式的展开式

一般书上的应力转轴公式和应变转轴公式：

拿出来看：

应变转轴公式类似

我个人感觉这个nii’和njj’有点不好理解，因为我很容易认为它们是相等的，进而我会认为公式是sigma*n*n
但是我又懒得自己动笔验证，于是用matlab算了一下

syms l1 l2 l3 m1 m2 m3 n1 n2 n3 sigmax sigmay sigmaz txy txz tyz real;
sigma=[sigmax txy txz;txy sigmay tyz;txz tyz sigmaz];
n=[l1 m1 n1;l2 m2 n2;l3 m3 n3];
sigma1=sigma*n*n; %我对书本的理解
sigma2=n*sigma*n'; %我猜测的正确形式

其中
sigma =
 
[sigmax,    txy,    txz]
[   txy, sigmay,    tyz]
[   txz,    tyz, sigmaz]

n =
 
[l1, m1, n1]
[l2, m2, n2]
[l3, m3, n3]
 
计算结果

sigma1 =
 
[l1*(l1*sigmax + l2*txy + l3*txz) + l2*(m1*sigmax + m2*txy + m3*txz) + l3*(n1*sigmax + n2*txy + n3*txz), m1*(l1*sigmax + l2*txy + l3*txz) + m2*(m1*sigmax + m2*txy + m3*txz) + m3*(n1*sigmax + n2*txy + n3*txz), n1*(l1*sigmax + l2*txy + l3*txz) + n2*(m1*sigmax + m2*txy + m3*txz) + n3*(n1*sigmax + n2*txy + n3*txz)]
[l1*(l2*sigmay + l1*txy + l3*tyz) + l2*(m2*sigmay + m1*txy + m3*tyz) + l3*(n2*sigmay + n1*txy + n3*tyz), m1*(l2*sigmay + l1*txy + l3*tyz) + m2*(m2*sigmay + m1*txy + m3*tyz) + m3*(n2*sigmay + n1*txy + n3*tyz), n1*(l2*sigmay + l1*txy + l3*tyz) + n2*(m2*sigmay + m1*txy + m3*tyz) + n3*(n2*sigmay + n1*txy + n3*tyz)]
[l1*(l3*sigmaz + l1*txz + l2*tyz) + l2*(m3*sigmaz + m1*txz + m2*tyz) + l3*(n3*sigmaz + n1*txz + n2*tyz), m1*(l3*sigmaz + l1*txz + l2*tyz) + m2*(m3*sigmaz + m1*txz + m2*tyz) + m3*(n3*sigmaz + n1*txz + n2*tyz), n1*(l3*sigmaz + l1*txz + l2*tyz) + n2*(m3*sigmaz + m1*txz + m2*tyz) + n3*(n3*sigmaz + n1*txz + n2*tyz)]
 

 
sigma2 =
 
[l1*(l1*sigmax + m1*txy + n1*txz) + m1*(m1*sigmay + l1*txy + n1*tyz) + n1*(l1*txz + n1*sigmaz + m1*tyz), l2*(l1*sigmax + m1*txy + n1*txz) + m2*(m1*sigmay + l1*txy + n1*tyz) + n2*(l1*txz + n1*sigmaz + m1*tyz), l3*(l1*sigmax + m1*txy + n1*txz) + m3*(m1*sigmay + l1*txy + n1*tyz) + n3*(l1*txz + n1*sigmaz + m1*tyz)]
[l1*(l2*sigmax + m2*txy + n2*txz) + m1*(m2*sigmay + l2*txy + n2*tyz) + n1*(l2*txz + n2*sigmaz + m2*tyz), l2*(l2*sigmax + m2*txy + n2*txz) + m2*(m2*sigmay + l2*txy + n2*tyz) + n2*(l2*txz + n2*sigmaz + m2*tyz), l3*(l2*sigmax + m2*txy + n2*txz) + m3*(m2*sigmay + l2*txy + n2*tyz) + n3*(l2*txz + n2*sigmaz + m2*tyz)]
[l1*(l3*sigmax + m3*txy + n3*txz) + m1*(m3*sigmay + l3*txy + n3*tyz) + n1*(l3*txz + n3*sigmaz + m3*tyz), l2*(l3*sigmax + m3*txy + n3*txz) + m2*(m3*sigmay + l3*txy + n3*tyz) + n2*(l3*txz + n3*sigmaz + m3*tyz), l3*(l3*sigmax + m3*txy + n3*txz) + m3*(m3*sigmay + l3*txy + n3*tyz) + n3*(l3*txz + n3*sigmaz + m3*tyz)]

单看第一项，
sigma1的l1*(l1*sigmax + m1*txy + n1*txz) + m1*(m1*sigmay + l1*txy + n1*tyz) + n1*(l1*txz + n1*sigmaz + m1*tyz)不正确，而sigma2的l1*(l1*sigmax + m1*txy + n1*txz) + m1*(m1*sigmay + l1*txy + n1*tyz) + n1*(l1*txz + n1*sigmaz + m1*tyz)正确，说明简洁的公式可以写成：sigma转=n*sigma原*n'

展开式为：