NOIP 2014 D2T3 解方程 Hash大法好

最新推荐文章于 2020-12-15 19:54:09 发布

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该博客讲述了NOIP竞赛中的一道高次方程求解问题，由于计算限制，作者采用哈希方法优化算法。通过将方程对质数取模，再进行验证，实现了O(m*n)的时间复杂度，解决了100分的题目。博客强调了哈希在解决此类问题中的高效性和实用性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给定高次方程an*x^n+...+a1*x^1+a0*x^0=0 求[1,m]区间内有多少个整数根

ai<=10^10000，m<=100W

懒得高精，考场上写的long double乱搞……30分打底50分顶天QAQ

当我终于搞定了各种非官方数据之后，我只能长跪大地，手捧鲜花，仰望上苍高喊：哈希大法好！

首先阿贝尔在200年前告诉我们五次以上方程没有求根公式于是我们只能枚举1~m 这个是100W

然后100W再加上1W位的精度都不用运算直接就是跪…… 怎么办呢QAQ

哈希大法好！

令f(x)=an*x^n+...+a1*x^1+a0*x^0 易知若f(x)=0 则f(x) mod p=0

反之如果f(x) mod p=0 那么我们基本可以得出f(x)=0 p比较靠谱的时候碰撞率极低

所以我们把所有的ai都对p取模然后对于每个解O(n)验证即可

这样是O(m*n)的可以拿到70分 p比较靠谱的话不会挂

那么100分怎么办呢？

哈希大法好！

我们很容易就会发现f(x+p) mod p=f(x) mod p

于是我们选择一个小一些的p，预处理出0~p-1所有的f(x)，然后超过p的取模即可

但是p不够大会挂啊！

于是我们多选择几个p 分别取一遍mod 只有一个值对所有的p取模之后全都0才算作解

哈希大法好！Hash Killer III至今无人AC就是在证明这个算法的正确性！哈希万岁！哈希赛高！哈希万年推！

时间复杂度O(nΣp+m) 其中Σp是选择的所有质数之和一般选择1W左右的质数就行了

不知道为什么不管考场上拿了多少分只要回来把题切了就算做精神AC了0.0……

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 110
using namespace std;
typedef long long ll;
const int prime[]={10007,11261,14843,19997,21893};
int n,m,stack[1001001],top;
ll a[M][5],f[21893][5];
inline ll F(int x,int j)
{
    int i;
    ll re=0;
    for(i=n;~i;i--)
        re=(re*x+a[i][j])%prime[j];
    return re;
}
inline void Input(int x)
{
    static char s[10100];
    int i,j;
    bool flag=false;
    scanf("%s",s+1);
    for(i=1;s[i];i++)
    {
        if(s[i]=='-')
            flag=true;
        else
            for(j=0;j<5;j++)
                a[x][j]=( (a[x][j]<<1) + (a[x][j]<<3) + s[i]-'0' )%prime[j];
    }
    if(flag) 
        for(j=0;j<5;j++)
            a[x][j]=prime[j]-a[x][j];
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n>>m;
    for(i=0;i<=n;i++)
        Input(i);
     
    for(j=0;j<5;j++)
        for(i=0;i<prime[j];i++)
            f[i][j]=F(i,j);
         
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=0;j<5;j++)
            if(f[i%prime[j]][j])
                break;
        if(j==5)
            stack[++top]=i;
    }
     
    cout<<top<<endl;
    for(i=1;i<=top;i++)
        printf("%d\n",stack[i]);
}