E. Intercity Travelling(组合数)

最新推荐文章于 2021-07-29 16:57:53 发布

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本文深入探讨了一种计算特定条件下困难值期望的算法，通过分析2^n-1种可能的子集状态，推导出每个位置值被使用的次数公式，并最终得出期望值的计算方法。该算法巧妙地利用组合数学原理，将复杂问题简化为一系列易于计算的数学表达式。

E. Intercity Travelling

题意

给出一个n，n个困难值，长度为n的直线距离，然后每个点可以休息，一旦休息困难值将从1开始。问困难值的期望*2^n-1

思路:

一共有2^n-1种情况，乘以期望，其实就是这么多种情况，每种情况的困难值的和
就可以分别计算每个位置的值被用了多少次
Ni表示a[i]被用的次数 $N1=\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)*C_{n-1}^{i}$
$N1=1*C_{n-1}^{0}+2*C_{n-1}^{1}+3*C_{n-1}^{2}....+n*C_{n-1}^{n-1}$
$C_{n-1}^{i}=C_{n-1}^{n-1-i}$
$N1=1*C_{n-1}^{n-1}+2*C_{n-1}^{n-2}+3*C_{n-1}^{n-3}....+n*C_{n-1}^{0}$
$2N1=（n+1）*\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}=(n+1)*2^{n-1}$
$N1=(n+1)*2^{n-2}$

那么N2就可以由N1递推出来，出现如果出现a[1]的后面一个点不休息，那么就会出现a[2]，总共有n-1个点，其中紧靠着出现a[1]的一个点始终为0，实际上可计算的就变成n-2个点了，因此N2相当于将n用n-1代入N1就得到公式了
$N2=(n)*2^{n-3}$
那么
$Ni=(n+2-i)*2^{n-1-i}$
最终的答案
$ans=\sum_{i=1}^{n}Ni*a[i]$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
typedef vector<int>vi;

#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl;
#define dd(x) cout<<#x<<"="<<x<<" " ;
#define pb(x) push_back(x)
#define per(i,a,b) for(int i=(b)-1;i>=(a);--i)
const int N=1e6+5;
const ll mod=998244353;
ll a[N];
ll mod_pow(ll x,ll n){
	if(n==-1)return mod_pow(2,mod-2); 
	ll res=1;
	while(n>0){
		if(n&1)res=res*x%mod;
		n>>=1;
		x=x*x%mod;
	}
	return res;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n+1)
		scanf("%I64d",&a[i]);
	ll cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cnt=(cnt+(n+2-i)*mod_pow(2,n-1-i)%mod*a[i]%mod)%mod;
	}
	
	printf("%I64d",cnt);
	return 0;
}