3306: 树 树上倍增

傻逼题,换根分三种情况讨论。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int inf=1000000007;
const int N=100005;
int head[N],next[N],list[N],in[N],out[N],deep[N],pos[N],val[N],fa[N][18];
int n,Q,root,cnt,dfn;
int l[N<<2],r[N<<2],mn[N<<2];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f; 
}
inline void insert(int x,int y)
{
    next[++cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    list[cnt]=y;
}
void dfs(int x)
{
    in[x]=++dfn; pos[dfn]=x;
    for (int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++)
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for (int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        deep[list[i]]=deep[x]+1;
        fa[list[i]][0]=x;
        dfs(list[i]);
    }
    out[x]=dfn;
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int t=deep[x]-deep[y];
    for (int i=17;~i;i--)
        if ((1<<i)&t) x=fa[x][i];
    for (int i=0;i<=17;i++)
        if (fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return x==y?x:fa[x][0];
}
inline void pushup(int k)
{
    mn[k]=min(mn[k<<1],mn[k<<1|1]);
}
void build(int k,int x,int y)
{
    l[k]=x; r[k]=y;
    if (l[k]==r[k]) 
    {
        mn[k]=val[pos[l[k]]];
        return;
    }
    int mid=l[k]+r[k]>>1;
    build(k<<1,x,mid); build(k<<1|1,mid+1,y);
    pushup(k);
}
void modify(int k,int x,int y)
{
    if (l[k]==r[k]) 
    {
        mn[k]=y;
        return;
    }
    int mid=l[k]+r[k]>>1;
    if (x<=mid) modify(k<<1,x,y);
    else modify(k<<1|1,x,y);
    pushup(k);
}
int query(int k,int x,int y)
{
    if (x>y) return inf;
    if (l[k]==x&&r[k]==y) return mn[k];
    int mid=l[k]+r[k]>>1;
    if (y<=mid) return query(k<<1,x,y);
    else if (x>mid) return query(k<<1|1,x,y);
    else return min(query(k<<1,x,mid),query(k<<1|1,mid+1,y));
}
inline int find(int x,int f)
{
    int y=x;
    for (int i=17;~i;i--)
        if (deep[fa[y][i]]>deep[f])
            y=fa[y][i];
    return y;
}
int main()
{
    n=read(); Q=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int f=read();
        val[i]=read();
        if (!f) root=i;
        else insert(f,i);       
    }
    dfs(1);
    build(1,1,n);
    while (Q--)
    {
        char opt[5];
        scanf("%s",opt);
        int x=read(),y;
        switch (opt[0])
        {
            case 'V':
                y=read();
                modify(1,in[x],y);
                break;
            case 'E':
                root=x;
                break;
            case 'Q':
                if (root==x) printf("%d\n",mn[1]);
                else
                {
                    int t=lca(x,root);
                    if (t!=x) printf("%d\n",query(1,in[x],out[x]));
                    else
                    {
                        int u=find(root,x);
                        printf("%d\n",min(query(1,1,in[u]-1),query(1,out[u]+1,n)));
                    }
                }
                break;
        }
    }
    return 0;
}
### LCA 最近公共祖先问题在结构中使用倍增法的解题方法 #### 倍增算法简介 倍增算法是一种高效的技术,在路径查询、区间问题以及的祖先查询等方面有着广泛应用。这种算法特别适合用于解决涉及多个层次关系的问题,比如最近公共祖先(LCA)问题[^1]。 #### LCA 定义及其重要性 在有根中,对于两个节点 \(u\) 和 \(v\),LCA 是所有公共祖先中最深的那个节点。这个概念不仅限于普通的父子关系,还包括节点本身作为自己祖先的情况。因此,在任何给定的一对节点间都存在唯一的LCA[^2]。 #### 使用倍增法求解LCA的具体过程 为了提高查找效率,通常会对进行预处理。具体来说,就是利用二进制表示来记录每个节点向上跳转\(2^k\)步后的父节点位置。这样做的好处是可以快速定位到目标节点之间的共同祖先,从而大大减少了实际计算量。以下是基于此思想的一种常见实现方式: ```cpp const int MAXN = 1e5 + 7; int fa[MAXN][20]; // 存储第i个结点往上走2^j步到达的父亲编号 int dep[MAXN]; // 结点深度数组 void dfs(int u,int father){ fa[u][0]=father; // 初始化fa[i][0],即直接父亲 dep[u]=dep[father]+1; for (auto &v : adj[u]) { if(v==father) continue; dfs(v,u); } } // 预处理f表 for(int j=1;(1<<j)<n;j++) for(int i=1;i<=n;i++) if(fa[i][j-1]!=-1) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; pair<int,int> getlca(int a,int b){ while(a!=b){ if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b); int k=log2(dep[a]-dep[b]); a=fa[a][k]; } return {a,dep[a]}; } ``` 上述代码片段展示了如何构建倍增表格`fa[][]`并通过深度优先搜索初始化各个节点的信息。之后通过简单的循环操作即可完成任意两点之间LCA的查询工作[^4]。 #### 应用场景扩展 除了基本的LCA查询外,倍增法还可以与其他高级数据结构相结合,如并查集和链剖分等,进一步优化复杂度较高的题目解答方案。此外,在动态规划领域也经常能看到它的身影,尤其是在那些涉及到子范围内属性汇总或者状态转移方向确定等问题上[^3]。
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