[高效] NKOJ 4251 直线的交点

问题描述

伦伦刚刚在高中学习了解析几何，学会了计算两条直线的交点。这天，老师给她布置了一道作业。在平面上有 n 条直线，他们之间有若干交点。给定一对平板（两条平行的直线），问这有多少对直线，他们的交点在这一对平板之间（注意 (i, j) 和 (j, i) 只算一对）。

输入格式

第一行三个整数 k,a,b 表示平板的两条平行直线的方程为 y=kx+a 和 y=kx+b，保证 a<b。
第二行一个整数 n。
接下来 n行每行两个整数 ki,bii​​,b​i​​ 表示第 iii 条直线的方程 y=kix+biy=k_ix+b_iy=k​i​​x+b​i​​。

输出格式

一个整数，表示有多少对直线，他们的交点在平板之间。

样例输入

0 3 50
5
1 0
2 0
-1 0
-2 0
-1 10

样例输出

3

题解：

本题是逆序对的基本应用。

我们要用到以下观察，若两条直线的交点在平板内部。则他们与下方平板和上方平板的交点横坐标大小关系相反。

这表明，如果将所有直线按照他们与下方平板的交点的横坐标排序，将他们上方平板交点的横坐标作为关键字。则平板内交点个数等于在排序后的序列中关于关键字的逆序对个数.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<deque>
using namespace std;
typedef double db;
const int maxn=100001;
int res=0,n,k,a,b;
struct line
{
	int k,b;
	db x1,x2;
	bool operator<(const line &L)const
	{
		return x1<L.x1;
	}
} data[maxn];
double temp[maxn];
void merge(int l,int mid,int r)
{//归并排序求逆序对
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(data[i].x2>data[j].x2)
		{
			temp[k++]=data[j++].x2;
			res+=(mid-i+1);			
		}
		else 
		{
			temp[k++]=data[i++].x2;
		}
	}
	while(i<=mid)
	{
		temp[k++]=data[i++].x2;
	}
	while(j<=r)
	{
		temp[k++]=data[j++].x2;
	}
	for(int ptr=l;ptr<=r;ptr++)
	{
		data[ptr].x2=temp[ptr];		
	}
}
void merge_sort(int l,int r)
{
	if(l<r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		merge_sort(l,mid);
		merge_sort(mid+1,r);
		merge(l,mid,r);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d %d %d",&k,&a,&b,&n); 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d %d",&data[i].k,&data[i].b);
		data[i].x1=(1.0)*(data[i].b-(db)b)/((db)k-data[i].k);
		data[i].x2=(1.0)*(data[i].b-(db)a)/((db)k-data[i].k);
	}
	stable_sort(data+1,data+1+n);
	merge_sort(1,n);
	printf("%d",res);
	return 0;
}