关于线段树

线段树是基于分治思想的二叉树，用来维护区间信息。可以在 $logn$ 的时间里执行区间修改和查询，此篇以维护区间和为例（不同情况差别对待啊）。

注：二叉树的空间要开 $(4\times N)$。

所谓线段树，就是叶子结点的值是输入的数组的值，而非叶子结点的值便是左儿子的值加上右儿子的值，例：$(5,5)$ 和 $(6,6)$ 的父结点是 $(5,6)$，值是 $(5,5{)}_{sum}+(6,6{)}_{sum}$。

设 $lc$ 为 $p<<1$，$rc$ 为 $p<<1|1$，$a_i$ 维护数组，$t{r}_i$ 维护整棵树。

1. 建树（build）：

利用二分查找，从根结点$(1)$开始，依次建左儿子的树，再建右儿子的树，并在此过程中累加每个结点的 $sum$ 值。

代码：

void build(int p,int l,int r){
	tr[p].l=l,tr[p].r=r,tr[p].sum=a[l];
	if(l==r)return;
	int m=(l+r)>>1;
	build(lc,l,m);
	build(rc,m+1,r);
	tr[p].sum=tr[lc].sum+tr[rc].sum;
}

2. 加数（update）：

也是从根结点开始，顺着要加的数的方向搜，并依次加上值。

有张图好理解多了。

代码：

void update(int p,int x,int k){
	tr[p].sum+=k;
	if(tr[p].l==x&&tr[p].r==x)return;
	int m=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
	if(x<=m)update(lc,x,k);
	if(x>m)update(rc,x,k);
	
}

3. 查找（find）:

核心：分割、拼凑

从根结点开始。

有三种情况：

1. 需查找的范围覆盖了当前所在的范围，那就在答案中加上当前的值，并且返回。

2. 需查找的范围位于当前范围的左侧，那就搜左儿子。

3. 需查找的范围位于当前范围的右侧，那就搜右儿子。

最后输出拼凑所得的答案即可。

代码：

int find(int p,int l,int r){
	if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r)return tr[p].sum;
	int sum=0;
	int m=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
	if(l<=m)sum+=find(lc,l,r);
	if(r>m) sum+=find(rc,l,r);
	return sum;
}

4.加数 Pro Max（可用于区间加数）：

进行区间加数时，如果运用原版的那个，时间复杂度就是 $O(n)$，而这个加强版的时间复杂度成功维护在了 $O(logn)$。那么优势就摆明了。

这个加强版用了懒惰标记（懒标记），那么懒标记是神马玩意？

懒标记相当于是过年时父母给小孩分零花钱，但小孩太多，分的话时间复杂度就废了，所以父母就说：“零花钱先放我这，要用的时候再发下去。”

这时，父结点就有了一个懒标记 $add$，$add$ 的值就是父结点要给每个子结点的
值。

如图：

1~4 的区间要集体加 2，那就从根结点向下搜，若当前结点可以被目标区间完全覆盖，那就不再向下分配了，而是在此处打一个懒标记记录下面的结点要加的值即可。

如果没有完全覆盖，那就将要加的值向下分配，将当前懒标记清空。

新设一个函数为 pushdowm（简称pd）。用于向下分配。

代码：

void pd(int p){
	if(tr[p].add>0){
		tr[lc].sum+=(tr[lc].r-tr[lc].l+1)*tr[p].add;
		tr[rc].sum+=(tr[rc].r-tr[rc].l+1)*tr[p].add;
		tr[lc].add+=tr[p].add;
		tr[rc].add+=tr[p].add;
		tr[p].add=0;
	}
}
void update(int p,int x,int y,int k){
	if(x<=tr[p].l&&tr[p].r<=y){
		tr[p].sum+=(tr[p].r-tr[p].l+1)*k;
		tr[p].add+=k;
		return;
	}
	int m=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
	pd(p);
	if(x<=m)update(lc,x,y,k);
	if(m<y)update(rc,x,y,k);
	tr[p].sum=tr[lc].sum+tr[rc].sum;
}

切记：向下分配的函数 pd 在查询（find）时也要使用，因为此时子结点若是没有分配到值时，得出的答案会比正确值小。