关于最近公共祖先之树链剖分

原创已于 2023-07-27 20:49:43 修改 · 131 阅读

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于 2023-07-01 23:42:08 首次发布

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该方法结合了深度优先搜索的倍增思想和路径压缩技术，分为找重儿子、确定重链和搜索最近公共祖先三个步骤。首先通过深搜确定每个节点的重儿子和子树大小，然后进行路径压缩，最后通过调整节点位置找到最近公共祖先。此外，文章还提及了其他两种不同的解决策略。

思路：

此做法有点难，结合了我的 ~~毕生所学~~，用了第一种思想的倍增和第二种思想的路径压缩。

此做法分为3个部分：

找每个结点的重儿子。
确定所有重链。
向上搜最近公共祖先。

设 $f a$ 记录父结点， $so n$ 记录重儿子， $t o p$ 记录每条重链的头， $sz$ 记录子树的结点数， $d e p$ 记录深度， $vector<int>e_{ij}$ 维护整棵树。

①利用深搜，从根开始，搜出 $sz$ 和 $so n$ ， $so n$ 是根据最大的儿子 $sz$ 确定的。

②还是用深搜来使一条重链上的所有结点指向顶点（类似路径压缩），分三种情况：叶子结点、重儿子、轻儿子。

③设 $u, v$ 为查找的两点，让 $u$ 所在的重链始终在 $v$ 下面，然后 $u$ 跳到上面一条重链，当它们在同一条重链上时，返回深度较小的那个。

核心代码：

void dfs1(int u,int f){
  fa[u]=f;
  dep[u]=dep[f]+1;
  sz[u]=1;
  for(auto v:e[u]){
  	if(v!=fa[u]){
  		dfs1(v,u);
  		sz[u]+=sz[v];
  		if(sz[son[u]]<sz[v])son[u]=v;
  	}
  }
}
void dfs2(int u,int t){
  top[u]=t;
  if(!son[u])return;
  dfs2(son[u],t);
  for(auto v:e[u]){
  	if(v!=fa[u]&&v!=son[u])dfs2(v,v);
  }
}
int lca(int u,int v){
  while(top[u]!=top[v]){
  	if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
  	u=fa[top[u]];
  }
  return dep[u]<dep[v]? u:v;
}