线段树空间开四倍的证明

线段树空间开四倍的证明

线段树数组通常用于高效地支持区间查询和修改操作，它的空间复杂度通常是 $O(n)$，其中 $n$ 是数据的数量。为什么说它占用的空间是 $4n$ 呢，这里有一个简单的数学解释：

线段树通常分为两个部分：节点和指针。每个节点代表区间的值，需要存储两个关键信息：区间的起始和结束位置。在完全二叉树结构下，对于深度为 $k$ 的树，最底层有 $2^k$ 个节点，因为每一层的节点数都是上一层的一倍。对于每一个节点，我们需要额外的指针来链接左右孩子，这又增加了 $2$ 个元素。

所以，对于每层，我们有 $2^{(}k+1)=2\times 2^k=2n$ 个元素。当 $k=0$，元素数量是 $2$；随着层数增加，每次翻倍。因此，总的空间需求是：

• 根节点(第 $0$ 层)：$2n=2$

• 所有其他层级(从第 $1$ 层到第 $k$ 层)：$(2n-2)\times k$

将这两部分相加，得到：

总空间 $=2+(2n-2)\times k=2+2n\times k-2k=2nk-2(k-1)=2n\times k$

如果取最大深度 $k={\log }_{2n}$，那么总空间就是 $2n\times {\log }_{2n}$，接近于 $4n$。这里的“接近”是因为实际计算中会舍去常数项，但直观上可以认为线段树数组占用的空间大约是 $4$ 倍的数据量。