51Nod-1482 部落信号（单调栈）

最新推荐文章于 2019-01-14 09:36:23 发布

Paulliant

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分类专栏：题目

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本文介绍了一种解决特定环形数组问题的算法——如何计算一个长度为n的环上可互相看见的数对数量。核心思路是将环转换为链，并使用单调栈来找出每个元素左侧和右侧的第一个较大值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

一个长度为 $n$ 的环 $a$ ，如果环上有一对数 $x,y$ ，当连接 $x,y$ 的两对弧中任意一对上不存在比 $min\{x,y\}$ 大的数，则称 $x,y$ 可以互相看见，问有多少对数可以互相看见。
$3 \leq n \leq 10^6$

思路

首先，与环有关的问题，最基本的思路就是段环成链。因为连接 $x,y$ 的圆弧，一定不必穿过环上的最大值，所以可以去掉环上最大值并把环拆成链，最后重新算一遍最高点的贡献即可。不难发现，将 $x$ 作为较低点，它能连结的点有左边第一个比它大的点和右边第一个比它大的点，于是想到单调栈。但是这样有一个问题，如果单调栈中出现了相同元素，那么点 $x$ 还能连接到所有与 $x$ 大小相同的点。所以还要特殊处理这一类点。单调栈进行的过程中始终保持序列的递减，那只用用 $x$ 替换栈内元素时，维护一个 $s$ 数组如果遇到相同元素，则通过累加得到与 $x$ 相同的元素个数即可。准确的说，是 $x$ 向左边拓展，在遇到比它大的点时停下，中途遇到与 $x$ 相等的元素的个数（当然，除了将所有数的 $s$ 值加起来，也可以加上所有的 $C_k^2$ ，其中 $k$ 为一个满足上述要求，值相等的点集中点的个数）。

代码

由于这题有些卡语言，所以用 $C$ 语言交了

#include<stdio.h>
#define FOR(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define DOR(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define N 1000003
typedef long long LL;
int mark[N];
int a[N],t[N],s[N],n;
int stk[N],top;
int p,mx=-1,h;
LL ans;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    FOR(i,1,n)scanf("%d",&t[i]);
    FOR(i,1,n)if(t[i]>mx)mx=t[p=i];
    FOR(i,1,n-p)a[i]=t[i+p];
    FOR(i,n-p+1,n-1)a[i]=t[i-n+p];
    n--;
    a[0]=2e9,stk[top=0]=0;
    FOR(i,1,n)
    {
        while(a[i]>=a[stk[top]])
        {
            if(a[i]==a[stk[top]])s[i]=s[stk[top]]+1;
            top--;
        }
        if(top)ans++;
        stk[++top]=i;
    }
    a[n+1]=2e9,stk[top=0]=n+1;
    DOR(i,n,1)
    {
        while(a[i]>=a[stk[top]])top--;
        if(top)ans++;
        stk[++top]=i;
    }
    FOR(i,1,n)ans+=s[i];
    h=-1;
    FOR(i,1,n)
    {
        if(a[i]>=h)
        {
            h=a[i];
            if(!mark[i])
            {
                mark[i]=1;
                ans++;
            }
        }
    }
    h=-1;
    DOR(i,n,1)
    {
        if(a[i]>=h)
        {
            h=a[i];
            if(!mark[i])
            {
                mark[i]=1;
                ans++;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}