【题解】【洛谷P2241】【枚举】——统计方形（数据加强版）

统计方形（数据加强版）

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题目背景

1997年普及组第一题

题目描述

有一个 $n\times m$ 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入格式

一行，两个正整数 $n,m$（$n\le 5000,m\le 5000$）。

输出格式

一行，两个正整数，分别表示方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

8 10

解法1.枚举格点

1.1.题意解析

    在[NOIP1997 普及组] 棋盘问题这一篇文章中，我们已经介绍了两种对应的解法。但是只有第二种要稍加修改才能通过。在这一篇文章，我们着重介绍其他两种解法。

    我们可以枚举每一个格点，并将它固定为一个方形的左上角，那么以格点(x,y)为左上角的正方形边长最大为min(x,y)，则以格点(x,y)为左上角的正方形有min(x,y)个。那么长方形就是x*y-min(x,y)个。

    答案记得开long long。

1.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    typedef long long LL;
    LL squ=0,rec=0,n,m;//统计正方形和长方形的数量
    cin>>n>>m;
    for(LL x=0;x<=n;x++)//枚举x
        for(LL y=0;y<=m;y++)//枚举y
        {
            LL tmp=min(x,y);//计算正方形的数量
            squ+=tmp;
            rec+=x*y-tmp;
        }
    cout<<squ<<" "<<rec;
    return 0;
}

解法2.枚举正方形

2.1.题意分析

    在这里，我们可以先枚举正方形的数量，再根据乘法原理，得出总共的矩形数量。最后减去正方形就是长方形的数量了。

    具体的乘法原理解释请看[NOIP1997 普及组] 棋盘问题

    我们可以发现，每一个矩形的长都是从$n+1$条长里面选两条，每一个矩形的宽也都是从$m+1$条宽里面选两条。这不就是组合数吗！最后可以得出，这个棋盘的矩形个数为
$$\begin{array}{rl}长：C_{n+1}^2& =\frac{(n+1)!}{(n+1-2)!2!}\\ & =\frac{1\ast 2\ast ...\ast (n+1)}{1\ast 2\ast ...\ast (n-1)2}\\ & =\frac{n\ast (n+1)}{2}\end{array}\begin{array}{rl}宽：C_{m+1}^2& =\frac{(m+1)!}{(m+1-2)!2!}\\ & =\frac{1\ast 2\ast ...\ast (m+1)}{1\ast 2\ast ...\ast (m-1)2}\\ & =\frac{m\ast (m+1)}{2}\end{array}$$
    将长的方案数和宽的方案数相乘得到最终答案：$\frac{n\ast (n+1)\ast m\ast (m+1)}{4}$。

2.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    typedef long long LL;
    LL squ=0,rec=0,n,m;//统计正方形和长方形的数量
    cin>>n>>m;
    for (LL a=1;a<=min(m,n);a++)//计算正方形
        squ+=(n-a+1)*(m-a+1);
    rec=n*(n+1)*m*(m+1)/4-squ;
    cout<<squ<<" "<<rec;
    return 0;
}

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