多重背包模型讲解（附C++代码实现）

1.概念解析

    ‌多重背包问题是一种动态规划问题，其核心在于如何在有限数量的物品中选择，使得背包中的物品总价值最大，同时不超过背包的容量限制。

2.举例了解

宝物筛选

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ 和 $W$，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来 $n$ 行每行三个整数 $v_i,w_i,m_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

输入输出样例

输入 #1

4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3

输出 #1

47

提示

对于 $30\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^4$，$0\le W\le 10^3$。

对于 $100\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^5$，$0\le W\le 4\times 10^4$，$1\le n\le 100$。

思路解析

    建议先食用01背包问题模型讲解和【题解】—— [NOIP2005 普及组] 采药和完全背包模型讲解和【题解】——疯狂的采药。

    有一种比较直接的方法。类似于完全背包，只需要将枚举每件物品的件数那一层循环的限制条件改成k<=nums[i]&&k*a[i].weight<=j //nums[i]表示第i件物品的数量就行了。但是这样的方法太过暴力，还有更好的方法吗？

    其实，我们可以将这道题转换成01背包。用上面的样例来说明。

4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3

    我们可以将每一件物品铺平，放到数组a里面去。并不需要把它们当成一堆物品来处理。此时的a数组如下（只展示某件物品的价值和编号（按输入顺序来定，编号不存储在a数组中，展示出仅为了方便理解））：

编号	1	1	1	2	3	3	4	4	4
价值	3	3	3	5	4	4	1	1	1
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9

    最后只需要按01背包来处理就行了。

3.示例代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXM 1010//m的数据范围，可根据题目修改
#define MAXN 1010//n的数据范围，可根据题目修改
//m表示背包的重量，n表示物品的数量,dp[j]表示当前重量上限为j时的最大价值
int m, n, dp[MAXM], cnt;
struct object{
    int weight, value;//储存每个物品的重量和价值
    object(int _w = 0, int _v = 0) :weight(_w), value(_v) {};
}a[MAXN];
int main(){
    scanf("%d%d", &m, &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++){//输入n个物品
        int w, v, m;//存储当前物品的重量,价值和件数 
        scanf("%d%d", &w, &v, &m);
        for (int j = 1; j <= n; j++)a[++cnt] = object(w, v);//展开 
    }
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
        for (int j = m; j >= a[i].weight; j--)
            //枚举所有能装下a[i]的重量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i].weight] + a[i].value);
    printf("%d\n", dp[m]);
    return 0;
}

    注意：以上代码不能通过此题。需要使用二进制优化。这里由于篇幅关系就先不展开讨论。

喜欢就订阅此专辑吧！

【蓝胖子编程教育简介】
蓝胖子编程教育，是一家面向青少年的编程教育平台。平台为全国青少年提供最专业的编程教育服务，包括提供最新最详细的编程相关资讯、最专业的竞赛指导、最合理的课程规划等。本平台利用趣味性和互动性强的教学方式，旨在激发孩子们对编程的兴趣，培养他们的逻辑思维能力和创造力，让孩子们在轻松愉快的氛围中掌握编程知识，为未来科技人才的培养奠定坚实基础。

欢迎扫码关注蓝胖子编程教育