【题解】【洛谷P2240】【贪心】——【深基12.例1】部分背包问题

【深基12.例1】部分背包问题

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题目描述

阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 $N(N\le 100)$ 堆金币，第 $i$ 堆金币的总重量和总价值分别是 $m_i,v_i(1\le m_i,v_i\le 100)$。阿里巴巴有一个承重量为 $T(T\le 1000)$ 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

输入格式

第一行两个整数 $N,T$。

接下来 $N$ 行，每行两个整数 $m_i,v_i$。

输出格式

一个实数表示答案，输出两位小数

输入输出样例

输入 #1

4 50
10 60
20 100
30 120
15 45

输出 #1

240.00

1.思路解析

    因为可以分割，很容易想到，尽量将性价比（单价）大的金币装进背包，这就是贪心策略。

    我们可以现将每堆金币按性价比排序，如下：

struct coin//储存金币的总重量和总价格
{
	int m,v;
}a[110];
bool cmp(coin x,coin y)//排序规则
{
	return x.v*1.0/x.m>y.v*1.0/y.m;//单价高者优先
}

    但是，只要作除法，就避免不了浮点数精度误差。那么可以避免吗？当然可以。只需要对不等式变形即可。

$$\begin{gathered} x.v/x.m>y.v/y.m \\ 移项得 \\ x.v>y.v/y.m\ast x.m再移项得 \\ x.v\ast y.m>y.v\ast x.m \end{gathered}$$
    在实际运算中，需要判断x.v*y.m或y.v*x.m是否会爆int。此题$1\le m_i,v_i\le 100$，不需要做特殊处理。否则需要将判断条件改成x.v*1ll*y.m>y.v*1ll*x.m。

    说回正题。对于贪心策略，我们可以将它讲得更详细一点，即对于每一次取金币，尽量取当前没有被放进背包的性价比最高的金币，直到无法装下为止。

    $当前没有被放进背包的$就是局部最优解中的某种情况下。$性价比最高的金币$自然就是最优解。合起来就成了局部最优解的解释。如果不能通过局部最优解达成全局最优解，那么就不能使用贪心算法。

    想要看某个问题能否使用贪心算法求解，只需要证明即可。常见的贪心策略证明方法的正确性有微扰法（邻项交换法）、反证法、数学归纳法等。想要证明贪心算法的不正确性，只需要举出反例即可。

    对于此题贪心策略正确性的证明，我们可以使用反证法。假设没在背包中放入单价高的金币，而放入了单价低的金币，那么可用等重量的高价值金币替换掉背包里的低价值金币，总价值更高了。

    最后，对于本题，我们可以循环判断每一堆金块，如果能装下整块的就直接装下，否则就进行分割并跳出循环。还要记得，答案需要保留两位小数。

2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct coin//储存金币的总重量和总价格
{
	int m,v;
}a[110];
bool cmp(coin x,coin y)//排序规则
{
	return x.v*y.m>y.v*x.m;//单价高者优先,这里运用了一个小技巧,可以避免浮点数精度误差
}
int main()
{
    int n,t,zm=0;//用zm存储当前背包装下的总重量
	double ans=0;//用ans存储答案
    scanf("%d%d",&n,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].m,&a[i].v);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    //贪心策略:优先将性价比高的金块装进背包
    for(int i=1;i<=n;i++)//判断每一个金块
    {
    	if(zm+a[i].m>t)//如果装不下整块
		{
			ans+=(t-zm)*(1.0*a[i].v/a[i].m);//将能装下的装进去
			break;
		}
    	zm+=a[i].m;//总重量增加
    	ans+=a[i].v;//总价格增加
	}
	printf("%.2lf",ans);//保留两位小数
	return 0;
}

3.思维扩展

    如果藏宝洞里面不是一堆堆金币，而是一个个单价不一且无法分割的金块，还能使用类似的策略吗？（这里借用洛谷课件上的表格示例）
    从单价高的开始装，装到不能装为止？

    假设背包承重为50。有以下几件物品：

序号	重量	价值	单价
1	10	60	6
2	20	100	5
3	30	120	4
4	15	45	3

（a）是可分割金币的装包方案，通过贪心策略使利益最大化。
（b）然而使用同样的办法装包，非最优解。
（c）战略性放弃性价比最高的金块可能会让你获得更多。

    对于此题，我们可以采用动态规划思想的01背包来做，详见01背包问题模型讲解。由于我们需要做出决策，即判断是放下此物品还是不放下此物品，所以它是不无后效性的。

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