【题解】【洛谷P1164】【递推】——小A点菜

小A点菜

通往洛谷的传送门

题目背景

uim 神犇拿到了 uoi 的 ra（镭牌）后，立刻拉着基友小 A 到了一家……餐馆，很低端的那种。

uim 指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。

题目描述

不过 uim 由于买了一些书，口袋里只剩 $M$ 元 $(M\le 10000)$。

餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有 $N$ 种 $(N\le 100)$，第 $i$ 种卖 $a_i$ 元 $(a_i\le 1000)$。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。

小 A 奉行“不把钱吃光不罢休”的原则，所以他点单一定刚好把 uim 身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。

由于小 A 肚子太饿，所以最多只能等待 $1$ 秒。

输入格式

第一行是两个数字，表示 $N$ 和 $M$。

第二行起 $N$ 个正数 $a_i$（可以有相同的数字，每个数字均在 $1000$ 以内）。

输出格式

一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在 int 之内。

输入输出样例

输入 #1

4 4
1 1 2 2

输出 #1

3

1.思路解析

    由于不关心每种方案的分配，可以使用递推。

    用f[i][j]储存只买前i种菜花费上限为j元的方案数。（其实就是$01$背包）。对于下文的解析，如果读者用看不懂的，请尝试将这个概念带入进去理解。

    分三种情况讨论。枚举每一个f[i][j]时，如果j==a[i]，即刚好可以只用这一道菜构成一种方法。那么只需要由f[i-1][j]+1就可以得到f[i][j]了。

    第二种情况。如果j>a[i]，即点完这一道菜之后还有剩余的钱。有两种方案：一是不点这一道菜，直接继承上一层的方法数f[i-1][j]。

    点这道菜，那么前面的点单金额上限就是j-a[i]。可以直接查表，得到f[i-1][j-a[i]]。然后在他们后面直接加上这道菜，就构成了点这道菜的方法数，即直接继承。将两种方法数相加，得到f[i-1][j]+f[i-1][j-a[i]]。

    第三种情况。如果j<a[i]，即你不能点这道菜，意思就是什么都不能做，直接继承上一层的方法数f[i-1][j]。

    请读者务必尝试理解这一道题。这是后面我们学习动态规划的基础。

2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[110],f[110][10010];//f[i][j]为用前i道菜用光j元钱的办法总数
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举i道菜
        for(int j=1;j<=m;j++)//枚举j元钱
        {
            if(j==a[i])//钱数刚好,再加一个方法数 
			    f[i][j]=f[i-1][j]+1;
            if(j>a[i])//钱数充足,可以吃也可以不吃
                f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-a[i]];
            if(j<a[i])//钱数不够,不能吃这道菜,直接继承上一个的办法数 
			    f[i][j]=f[i-1][j];
		}
    cout<<f[n][m];
	return 0;
}

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