【题解】【洛谷P8814】【数学】—— [CSP-J 2022] 解密

前置知识：代数推理。
[CSP-J 2022] 解密

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题目描述

给定一个正整数 $k$，有 $k$ 次询问，每次给定三个正整数 $n_i,e_i,d_i$，求两个正整数 $p_i,q_i$，使 $n_i=p_i\times q_i$、$e_i\times d_i=(p_i-1)(q_i-1)+1$。

输入格式

第一行一个正整数 $k$，表示有 $k$ 次询问。

接下来 $k$ 行，第 $i$ 行三个正整数 $n_i,d_i,e_i$。

输出格式

输出 $k$ 行，每行两个正整数 $p_i,q_i$ 表示答案。

为使输出统一，你应当保证 $p_i\le q_i$。

如果无解，请输出 NO。

输入输出样例

输入 #1

10
770 77 5
633 1 211
545 1 499
683 3 227
858 3 257
723 37 13
572 26 11
867 17 17
829 3 263
528 4 109

输出 #1

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

提示

【样例 #2】

见附件中的 decode/decode2.in 与 decode/decode2.ans。

【样例 #3】

见附件中的 decode/decode3.in 与 decode/decode3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 decode/decode4.in 与 decode/decode4.ans。

【数据范围】

以下记 $m=n-e\times d+2$。

保证对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le {10}^5$，对于任意的 $1\le i\le k$，$1\le n_i\le {10}^{18}$，$1\le e_i\times d_i\le {10}^{18}$
，$1\le m\le {10}^9$。

测试点编号	$k\le$	$n\le$	$m\le$	特殊性质
$1$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	保证有解
$2$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	无
$3$	$10^3$	$10^9$	$6\times 10^4$	保证有解
$4$	$10^3$	$10^9$	$6\times 10^4$	无
$5$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	保证有解
$6$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	无
$7$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证若有解则 $p=q$
$8$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证有解
$9$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无
$10$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无

1.题意解析和公式推理

    看完题目，我们先将ei*di(pi - 1)(qi - 1) + 1拆解了。

$ei\ast di=(pi-1)(qi-1)+1$

拆括号，依次分配并合并同类项得

$ei\ast di=pi\ast qi-p-q+2$

等量代换得

$ei\ast di=n-pi-qi+2$

将常数项移到右边，未知项移到左边得

$pi+qi=n-ei\ast di+2$

$$目前已知\{\begin{array}{l}p+q=n-e\ast d+2\\ p\ast q=n\end{array}$$

我们发现，只需要求出$p-q$就可以使用和差问题公式求出p和q了。

我们可以利用"完全平方和"和"完全平方差"公式解决。

$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$

我们用完全平方和减去完全平方差。

$(p+q{)}^2-(p-q{)}^2$

展开得

$(p+q{)}^2-(p-q{)}^2=p^2+2pq+q^2-(p^2-2pq+q^2)$

拆括号得

$(p+q{)}^2-(p-q{)}^2=p^2+2pq+q^2-p^2+2pq-q^2$

合并同类项得

$(p+q{)}^2-(p-q{)}^2=4pq$

移项得

$(p-q{)}^2=(p+q{)}^2-4pq$

两边同时开方得

$p-q=\sqrt{(p+q{)}^2-4pq}$
等量代换得

$p-q=\sqrt{(p+q{)}^2-4n}$

就此我们得到
$$\{\begin{array}{l}p+q=n-e\ast d+2\\ p-q=\sqrt{(p+q{)}^2-4n}\end{array}$$
接下来只需要以此计算出p和q并判断就行了。
$$\{\begin{array}{l}min(p,q)=\frac{(p+q)-(p-q)}{2}\\ max(p,q)=\frac{(p+q)+(p-q)}{2}\end{array}$$
本人只是一枚小学生，上面的数学推导过程是我“借鉴”洛谷上一位大佬的题解写出来的。请谅解

2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long k;
    cin>>k;
    while(k--)//k组数据 
    {
    	long long n,d,e;
    	cin>>n>>d>>e;
    	long long paq=n+2-e*d;//求出p+q的值,注意不开long long会爆
    	long long psq=sqrt(paq*paq-4*n);//求出p-q的值
    	long long p=(paq+psq)/2,q=paq-p;//求出p和q
    	if(p*q==n&&(p-1)*(q-1)+1==e*d&&p&&q)//如果满足条件 
    	    cout<<min(p,q)<<" "<<max(p,q)<<endl;//输出答案 
    	else cout<<"NO"<<endl;//否则就是无解 
	}
	return 0;
}