(扩展)中国剩余定理

最新推荐文章于 2024-10-13 16:29:01 发布

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本文深入解析了中国剩余定理的原理及其在解决线性方程组问题中的应用，详细介绍了定理的前置条件、求解步骤，并提供了一个具体的算法实现案例，帮助读者理解和掌握这一数学工具。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

用途

求解线性方程组
$\left\{ \begin{aligned} x \equiv a_1 (mod\ b_1)\\ x \equiv a_2 (mod\ b_2) \\ \ldots\\ x \equiv a_n (mod\ b_2) \end{aligned} \right.$

前置条件

$b_i$ 间两两互质.

做法

令
$\Pi\ b_i$
对于一个方程,令 $t_i$ 为同余方程 $bi)\frac{N}{b_i}t_i\equiv1(mod\ b_i)$ 的解.
则有一个解为
$aiNbiti\Sigma\ a_i\frac{N}{b_i}t_i$
最小非负整数解: $(x%N+N)%N(x\%N+N)\%N$
通解: $x + i * m$ (i为整数)
证明不会略

模板(Luogu3868)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long 

using namespace std;

const int N = 15;

void exgcd(LL a,LL b,LL &gcd,LL &x,LL &y)
{
	if (!b)
	{
		x = 1,y = 0;
		gcd = a;
		return;
	}
	exgcd(b,a % b,gcd,y,x);
	y -= x * (a / b);
}

int n;
int a[N],b[N];

LL mul(LL x,LL time,LL mo)
{
	LL ans = 0;
	while (time)
	{
		if (time & 1) ans = (ans + x) % mo;
		x = (x + x) % mo;
		time >>= 1;
	}
	return ans;
}

LL CRT()
{
	LL N = 1,ans = 0,gcd,x,y;
	for (int i = 1 ; i <= n ; i++) N *= b[i];
	for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		LL k = N / b[i];
		exgcd(k,b[i],gcd,x,y);
		x = (x % b[i] + b[i]) % b[i];
		ans = (ans + mul(mul(k,x,N),a[i],N)) % N;
	}
	return (ans + N) % N;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1 ; i <= n ; i++) scanf("%d",&a[i]);
	for (int i = 1 ; i <= n ; i++) scanf("%d",&b[i]); 
	for (int i = 1 ; i <= n ; i++) a[i] = (a[i] % b[i] + b[i]) % b[i];
	printf("%lld\n",CRT());
	return 0;
}