2021牛客多校#2 G- League of Legends

题目大意

有$n(1\le n\le 5000)$个人要打游戏，他们必须在空闲的时间打，第$i$个人的空闲时间为$\left|a_i,b_i\right|(1\le a_i\le b_i<10^5)$。
有$k(k\le n)$个游戏组，每人至少加入一组。当组内所有人都空闲时，他们会开始玩游戏。
求所有组的游戏时间总和的最大值。

题解

对于每个游戏组，我们进行分类，即空闲时间能覆盖别人的（闲的蛋疼的）和空闲时间能被其他组覆盖的（努力学习），然后贪最大的时间。
首先考虑 闲的蛋疼的 ，可以按它们的长度进行排序，取$x$个，将时间累加（一组的自己玩）。剩下的组都可以插入其他组并与其一起快乐玩耍（它本来覆盖的那个组），可以求一个前缀和$sum[i]$方便计算。
然后考虑 努力学习 的，我们可以DP来求，设$dp[i][j]$表示努力学习中前$i$组分为$j$组的最优解。
易得$$dp[i][j]=dp[k][j-1]+r[k+1]-l[i]$$
且$r[k+1]>l[i]$
(k为在范围内的最大值的标号）
故我们可以采用双向队列，储存一个单调递减队列，储存在范围内的最大值，并将队列顶部元素不满足条件时弹出。因为$l[i]$的值为常数，所以最后减去即可。若队列为空，则不满足条件，不做考虑。这样就得到了dp数组。
最后枚举前缀$sum[i]$与$dp[t2][k-i]$和的最大值即可。（t2为长度小的组数）

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e3+5;
struct p{
    int l,r,c;
}f[N];
p s2[N];
int s1[N];
int n,k,dp[N][N],t2=0,sum[N],t1=0;
bool cmp(p i,p j)
{
    if(i.l==j.l)
        return i.c>j.c;
    return i.l<j.l;
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        f[i].l=x;
        f[i].r=y;
        f[i].c=y-x;
    }
    sort(f+1,f+n+1,cmp);
    int aaa=1e9+5;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(f[i].r>=aaa)
            s1[++t1]=f[i].c;
        else
        {
            aaa=f[i].r;
            s2[++t2]=f[i];
        }
    }
    sort(s1+1,s1+t1+1,greater<int>());
    for(int i=2;i<=t1;i++)
        s1[i]+=s1[i-1];
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    dp[0][0]=0;
    reverse(s2+1,s2+t2+1);
    int sum=0,maxn=0;
    for(int j=1;j<=k;j++)
    {
        deque<int> q;
        for(int i=j;i<=t2;i++)
        {
            while(!q.empty()&&s2[q.front()+1].r<=s2[i].l)
                q.pop_front();
            if(dp[i-1][j-1]!=-1)
            {
                while(!q.empty()&&dp[q.back()][j-1]+s2[q.back()+1].r<dp[i-1][j-1]+s2[i].r)
                    q.pop_back();
                q.push_back(i-1);
            }
            if(!q.empty())
                dp[i][j]=dp[q.front()][j-1]+s2[q.front()+1].r-s2[i].l;
        }
    }
    for(int i=0;i<=min(n,k);i++)
        if(dp[t2][k-i]!=-1)
            maxn=max(maxn,s1[i]+dp[t2][k-i]);
    if(maxn==0)
        printf("0");
    else
        printf("%d",maxn);
    puts(" ");
}

总结

这题需要使用双向队列和DP，还需要一点的数学基础，还是便于理解的，推荐去刷。